Для измерения величины A, описываемой эрмитовым оператором 
, частица в состоянии 
приводится во взаимодействие с соответствующим измерительным устройством, описываемом классической физикой. Его показание дает значение 
измеряемой величины. Повторяем измерение N раз, находим среднее значение и дисперсию
,
.
Если исходное состояние частицы совпадает с одной из собственных функций оператора 
, то после каждого измерения частица оказывается в том же состоянии, результаты измерений 
одинаковые и погрешность равна нулю
, 
.
Для измерения величины 
, описываемой оператором 
, используется другое измерительное устройство. Если и коммутируют, то наборы их собственных функций {Ψ n } совпадают, соответствующие измерения совместимы. В состоянии результаты однозначные 
, 
, их точность не ограничена.
Если эрмитовые операторы и не коммутируют
, (2.29)
где 
– эрмитовый оператор (доказательство проводится на практических занятиях), то и имеют разные наборы собственных функций. Измерительные устройства для A и B несовместимы, действие одного нарушает работу другого. Так, на первой лекции было показано, что при измерении координаты частицы с помощью экрана со щелью происходит дифракция волны и растет неопределенность импульса частицы. Измерить A и B одновременно с высокой точностью невозможно. В состоянии найдем связь между флуктуациями результатов измерений, то есть абсолютными погрешностями:
,
,
где дисперсия в нормированном состоянии по определению среднего равна
,
.
Здесь использованы операторы отклонения от среднего 
и 
.
Ограничение коммутатора. Среднее от квадратичной формы эрмитовых операторов 
и 
по любому состоянию Ψ не может быть отрицательным, действительно:
. (2.30)
Во втором равенстве использована операция эрмитового сопряжения. Упрощаем левую сторону (2.30), учитывая эрмитовость операторов, и получаем
.
В результате коммутатор
ограничен сверху
. (2.31)
Соотношение неопределенностей Гейзенберга. В качестве и выбираем операторы относительного отклонения от среднего
, 
, (2.32)
удовлетворяющие
.
С учетом
,
,
находим
, 
, 
.
Из (2.31) получаем
, (2.33)
где 
– модуль среднего от коммутатора операторов и по рассматриваемому состоянию . Для коммутирующих операторов 
, 
и измерения a и b можно выполнить с неограниченной точностью.
Соотношение неопределенностей координата-импульс. Коммутатор
сравниваем с (2.29)
,
получаем
, 
,
из (2.33) находим
(2.37)
– чем точнее измеряется координата частицы, тем неопределеннее импульс, и наоборот. Локализация частицы приводит к увеличению неопределенности ее импульса и кинетической энергии. Аналогичное соотношение было получено в полуклассической квантовой механике.
Соотношение неопределенностей энергия-время. Средняя скорость частицы выражается через путь и время
.
Флуктуация кинетической энергии
,
тогда
.
Учитывая (2.37), находим
. (2.39)
Полученный результат имеет следующий смысл:
– чем точнее измеряется энергия, тем больший промежуток времени необходим для измерения;
– чем уже энергетический уровень δ Е возбужденного состояния, тем больше время его жизни δ t.
Соотношение неопределенностей установил Гейзенберг в 1927 г.
Вернер Гейзенберг (1901–1976)
