ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ

 

Развитие состояния частицы во времени описывается волновым уравнением Шредингера. Для вывода уравнения воспользуемся оператором эволюции, сдвигающим состояние объекта во времени. Он строится по аналогии с оператором трансляции, перемещающим состояние в пространстве.

Оператор трансляции сдвигает состояние объекта на расстояние а

. (2.44)

 

Для получения оператора разлагаем в ряд Тейлора по параметру a

 

Производную по координате выражаем через оператор импульса

 

,

находим

,

 

где квадратная скобка является разложением в ряд экспоненты

 

.

 

В результате оператор трансляции

 

. (2.45)

 

Генератор трансляции пропорционален быстроте изменения оператора трансляции по параметру смещения вблизи нуля

 

. (2.46)

Определению соответствует

.

Сравнение с (2.45) дает

. (2.47)

 

Генератором перемещения является импульс.

Полученные результаты обобщим на смещение во времени.

Оператор эволюции передвигает состояние во времени на τ

 

. (2.49)

По аналогии с (2.45)

записываем

. (2.50)

 

Знак минус в (2.50) обусловлен разными знаками пространственного и временного слагаемых в фазе волны де Бройля (1.11)

 

.

 

В результате (2.49) получает вид

, (2.50а)

где .

Генератор эволюции, соответствующий (2.50), в виде

 

(2.51)

 

сравниваем с генератором трансляции (2.46)

 

и по аналогии с (2.47)

получаем

,

в полной запаси

. (2.52)

 

Для установления физического смысла рассмотрим его действие на волну де Бройля

,

 

описывающую частицу с полной энергией Е. Получаем уравнение

 

 

на собственную функцию оператора , где собственным значением является полная энергия. Следовательно, генератором эволюции является оператор полной энергии, или гамильтониан.