Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Среднее значение величины




 

Собственные функции эрмитового оператора образуют ортонормированный базис . Если частица находится в состоянии Ψ, являющемся суперпозицией функций , то физическая величина A не имеет определенного значения. Получим ее среднее значение.

 

Разложение состояния Ψ по базису имеет вид:

для дискретного спектра

, (2.23)

для непрерывного спектра

, (2.24)

 

где – комплексное число. Докажем, что коэффициент разложения является амплитудой вероятности обнаружения состояния в исследуемом состоянии Ψ, а вероятность обнаружения равна .

 

Коэффициенты разложения . Умножаем на (2.23) или (2.24), интегрируем по пространственным переменным, переставляем суммирование и интегрирование, учитываем условия ортонормированности (2.21) или (2.22). Для дискретного спектра получаем

 

,

 

для непрерывного спектра

 

.

 

Заменяем , и для дискретного и непрерывного спектров находим коэффициент разложения

. (2.25)

 

Определим физический смысл коэффициента . Разложение для дискретного спектра подставляем в условие нормировки функции состояния и получаем

 

.

 

Результат сравниваем с нормировкой вероятности дискретных событий

 

,

получаем

. (2.26)

 

Следовательно, вероятность обнаружения состояния в нормированном состоянии равна квадрату модуля коэффициента разложения. С вероятностью обнаруживается в эксперименте значение дискретной физической величины A для частицы в состоянии , где – собственное значение оператора с собственной функцией .

Для непрерывного спектра разложение

 

 

подставляем в условие нормировки функции состояния

 

,

 

учитываем ортонормированность (2.22)

 

,

получаем

.

 

Результат сравниваем с нормировкой вероятности непрерывных событий

 

,

получаем

. (2.27)

 

Следовательно, плотность вероятности обнаружения состояния в нормированном состоянии равна квадрату модуля коэффициента разложения. С вероятностью в единичном интервале изменения n обнаруживается в эксперименте значение непрерывной физической величины A для частицы в состоянии , где – собственное значение оператора с собственной функцией .

Среднее значение величины, описываемой оператором , в нормированном состоянии равно

 

, (2.28)

 

если состояние нормировано

 

.

 

Доказательство для величины A с дискретным спектром:

Состояние разлагаем по собственным функциям оператора

 

.

 

Разложение подставляем в (2.28), учитываем

 

,

 

,

 

,

получаем

.

 

Результат совпадает с определением среднего в теории вероятности дискретной величины

.

 

Следовательно, измерение проектирует состояние частицы Ψ на орты базиса , проекцией является амплитуда вероятности . В результате возмущающего воздействия измерительного устройства на микрочастицу происходит необратимое изменение ее состояния, частица оказывается в состоянии с вероятностью . При этом изменяется состояние макроскопического измерительного устройства, оно регистрирует у частицы значение физической величины A.

Для непрерывной величины A аналогично находим из (2.28) известное в теории вероятности выражение для среднего

 

.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-10-01; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 487 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Логика может привести Вас от пункта А к пункту Б, а воображение — куда угодно © Альберт Эйнштейн
==> читать все изречения...

2338 - | 2282 -


© 2015-2025 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.