Собственные функции эрмитового оператора образуют ортонормированный базис
. Если частица находится в состоянии Ψ, являющемся суперпозицией функций
, то физическая величина A не имеет определенного значения. Получим ее среднее значение.
Разложение состояния Ψ по базису имеет вид:
для дискретного спектра
, (2.23)
для непрерывного спектра
, (2.24)
где – комплексное число. Докажем, что коэффициент разложения
является амплитудой вероятности обнаружения состояния
в исследуемом состоянии Ψ, а вероятность обнаружения равна
.
Коэффициенты разложения . Умножаем
на (2.23) или (2.24), интегрируем по пространственным переменным, переставляем суммирование и интегрирование, учитываем условия ортонормированности (2.21) или (2.22). Для дискретного спектра получаем
,
для непрерывного спектра
.
Заменяем , и для дискретного и непрерывного спектров находим коэффициент разложения
. (2.25)
Определим физический смысл коэффициента . Разложение для дискретного спектра
подставляем в условие нормировки функции состояния
и получаем
.
Результат сравниваем с нормировкой вероятности дискретных событий
,
получаем
. (2.26)
Следовательно, вероятность обнаружения состояния в нормированном состоянии
равна квадрату модуля коэффициента разложения. С вероятностью
обнаруживается в эксперименте значение
дискретной физической величины A для частицы в состоянии
, где
– собственное значение оператора
с собственной функцией
.
Для непрерывного спектра разложение
подставляем в условие нормировки функции состояния
,
учитываем ортонормированность (2.22)
,
получаем
.
Результат сравниваем с нормировкой вероятности непрерывных событий
,
получаем
. (2.27)
Следовательно, плотность вероятности обнаружения состояния в нормированном состоянии
равна квадрату модуля коэффициента разложения. С вероятностью
в единичном интервале изменения n обнаруживается в эксперименте значение
непрерывной физической величины A для частицы в состоянии
, где
– собственное значение оператора
с собственной функцией
.
Среднее значение величины, описываемой оператором , в нормированном состоянии
равно
, (2.28)
если состояние нормировано
.
Доказательство для величины A с дискретным спектром:
Состояние разлагаем по собственным функциям
оператора
.
Разложение подставляем в (2.28), учитываем
,
,
,
получаем
.
Результат совпадает с определением среднего в теории вероятности дискретной величины
.
Следовательно, измерение проектирует состояние частицы Ψ на орты базиса , проекцией является амплитуда вероятности
. В результате возмущающего воздействия измерительного устройства на микрочастицу происходит необратимое изменение ее состояния, частица оказывается в состоянии
с вероятностью
. При этом изменяется состояние макроскопического измерительного устройства, оно регистрирует у частицы значение
физической величины A.
Для непрерывной величины A аналогично находим из (2.28) известное в теории вероятности выражение для среднего
.