Свойства эрмитового сопряжения

 

,

 

,

 

,

 

, . (2.12)

 

Для доказательства применяем (2.11) к оператору

 

 

и последовательно – вначале к оператору , затем, к

 

.

 

Сравниваем правые стороны полученных равенств.

Остальные соотношения доказать самостоятельно.

Эрмитовый оператор не изменяется при эрмитовом сопряжении

 

. (2.13)

 

Из (2.11) получаем определение эрмитового оператора

 

. (2.14)

 

Следовательно, эрмитовый оператор можно переставлять в интегральной квадратичной форме от одной функции к другой.

 

Свойства эрмитова оператора:

1) Собственные значения вещественные.

Доказательство:

В (2.14)

 

полагаем , где – собственная функция оператора . Учитываем

, ,

получаем

.

Следовательно,

(2.15)

 

– измеряемая величина вещественна.

 

2) Собственные функции, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство:

Для собственных функций и оператора выполняется

 

, , , .

Из (2.14)

 

при , получаем

 

.

 

Учитывая вещественность собственных значений (2.15), находим

 

.

 

При выполняется условие ортогональности состояний

 

. (2.16)

 

Следовательно, состояния и при измерении не совместимы и измерение дает однозначный результат.