,
,
,
, 
. (2.12)
Для доказательства применяем (2.11) к оператору 
и последовательно – вначале к оператору 
, затем, к 
.
Сравниваем правые стороны полученных равенств.
Остальные соотношения доказать самостоятельно.
Эрмитовый оператор не изменяется при эрмитовом сопряжении
. (2.13)
Из (2.11) получаем определение эрмитового оператора
. (2.14)
Следовательно, эрмитовый оператор можно переставлять в интегральной квадратичной форме от одной функции к другой.
Свойства эрмитова оператора:
1) Собственные значения вещественные.
Доказательство:
В (2.14)
полагаем 
, где 
– собственная функция оператора 
. Учитываем
, 
,
получаем
.
Следовательно,
(2.15)
– измеряемая величина вещественна.
2) Собственные функции, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Доказательство:
Для собственных функций и 
оператора выполняется
, 
, 
, 
.
Из (2.14)
при 
, 
получаем
.
Учитывая вещественность собственных значений (2.15), находим
.
При выполняется условие ортогональности состояний
. (2.16)
Следовательно, состояния и при измерении не совместимы и измерение дает однозначный результат.
