.
Пусть 
– собственная функция с собственным значением 
, тогда
Верхнее равенство является определением оператора координаты, нижнее – определением собственной функции и собственного значения. Приравниваем правые стороны
.
Сравниваем с фильтрующим свойством дельта-функции
,
находим
.
Полученная функция равна нулю во всех точках, кроме 
, где x 0 – любое вещественное число, поэтому спектр x 0 непрерывный. Вид функции согласуется с физическим смыслом состояния – частица обнаруживается только в точке с координатой x 0. В результате обоснована форма оператора координаты.
Как показано далее условие ортонормированности для непрерывного спектра имеет вид
.
Подстановка дает
.
Отсюда 
, тогда собственная функция оператора координаты, или волновая функция частицы, находящейся в точке x 0, есть
. (2.9)
Множество функций 
со всеми возможными собственными значениями 
образует базис с условиями ортонормированности и полноты
,
. (2.9а)
Первое равенство (2.9а) называется условием ортонормированности базиса функций с непрерывным спектром 
. Второе равенство называется условием полноты базиса , означающим, что произвольная функция координат разлагается по этому базису.
