Собственная функция 
оператора 
определяется уравнением
, (2.8)
где 
– собственное значение оператора для функции . Под действием оператора его собственная функция восстанавливается с точностью до постоянного множителя, который называется собственным значением.
Физический смысл собственного значения – если система находится в состоянии , то измерение величины A, описываемой оператором , дает однозначный результат 
. Собственные функции с разными собственными значениями взаимно ортогональны. Это исключает возможность получить при измерении неоднозначный результат.
Спектр оператора – это множество его собственных значений 
. Если счетное, то спектр дискретный. Если образует непрерывный набор, то спектр непрерывный. Возможен смешанный спектр – в одной области собственных значений один тип, в примыкающей области другой тип спектра.
Если k разных собственных функций имеют одинаковые собственные значения, то спектр k- кратно вырожден.
Множество собственных функций 
оператора образует полный ортонормированный базис. Произвольное состояние частицы Ψ разлагается по этому базису
.
Как показано далее, коэффициент разложения 
является амплитудой вероятности, тогда 
– вероятность результата при измерении величины A в состоянии Ψ. Измерение проектирует состояние Ψ на орты базиса , проекция является амплитудой вероятности результата.
Коммутирующие операторы имеют одинаковый набор собственных функций, соответствующие физические величины одновременно имеют определенные значения.
Доказательство:
Пусть и 
– взаимно коммутирующие операторы, – собственная функция , тогда
.
Действуем оператором на обе стороны равенства
.
Учитываем коммутативность операторов
,
получаем
.
Следовательно, 
– собственная функция с собственным значением , поэтому она пропорциональная
.
Полученное равенство означает, что – собственная функция не только для , но и для с собственным значением 
.
