Задачі для самостійного розв’язання

1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки А(-2,1,0) і В(0,1,3), та знайти координати її напрямного вектора.

2. Дано рівняння руху точки М(x,y,z): . Знайти: а) координати точки через 10 секунд від початку руху (t=0); б) довжину пройденого точкою шляху S за проміжок часу від t=0 до t=10с; в) величину швидкості; г) канонічне рівняння траєкторії руху.

3. Знайти координати точок перетину прямої з координатними площинами. Побудувати пряму.

4. Звести до канонічного рівняння прямих:

5. Перейти від загального рівняння прямої до канонічного та знайти точки перетину з координатними площинами.

6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через дві точки А(1,-3,1), В(2,4,5).

7. Скласти рівняння сторін трикутника з вершинами А(7,2,-6), В(11,-3,5), С(-3,4,-2) і рівняння його медіани, яка виходить з вершини В.

8. Знайти кути між прямими: і ; 2) і

9. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку

М(2,-4,3) і паралельна прямій .

10. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку

А(2,-6,-9) паралельно прямій

11. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку

В(1,-2,6) і паралельна прямій

12. Показати, що прямі і перетинаються і знайти їх точку перетину .

Вказівка. Нехай прямі і задані відповідно рівняннями і . Необхідною і достатньою умовою перетину двох непаралельних прямих є компланарнітсь трьох векторів і , тобто

Для знаходження точки перетину прямих і записати їх рівняння в параметричному вигляді з параметрами і - відповідно і розв’язати систему рівнянь: Знайшовши спочатку і , а тоді x, y, z.

13. Скласти рівняння бісектриси кута К трикутника з вершинами К(0,1,3), L(4,4,-9), M(12,-3,0).

Вказівка. Знайти напрямні вектори і . За напрямний вектор бісектриси можна взяти вектори , де і - орти відповідних векторів і . Підкреслимо, що на векторах і можна побудувати паралелограм, а на одиничних векторах і будується ромб, діагональ якого є бісектрисою кута.

Відповіді. 1.

2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

11. 12. 13.