Множення матриць розглянемо, починаючи з відомого вже прикладу 3, при підрахунку грошових затрат на виконання робіт по проходці в шахті (метро, тунелі). Нехай в рядках матриці
записані результати роботи за добу кожної із трьох змін: по виїмці породи (перший стовпець) і по кріпленню пройденої виробки (другий стовпець). Як вже згадувалось, при заданій площі поперечного перетину проходки результати робіт можуть вимірюватись в пройденних погонних метрах. Замовнику необхідно знати, яку суму грошей прийдеться виділяти на оплату праці робітників, а яку – на капітальні витрати. Існують норми розцінок на зарплату і капітальні витрати, які представимо у вигляді матриці розцінок
де перший стовпець 
– норми оплати праці робітників: за 1 погонний метр по виїмці породи і за 1 погонний метр по кріпленню відповідно. Другий стовпець: 
– відповідні капітальні затрати за 1 погонний метр виїмки і за 1 погонний метр кріплення.
Загальні затрати на зарплату для кожної із змін дорівнюють сумі добутків пройдених кількостей метрів по обох видах робіт на відповідні норми розцінок. Позначимо через 
сумму грошей зароблену 
-ю зміною 
. Аналогічно підраховуються капітальні затрати 
для -ої зміни по виїмці і кріпленню.
Отримаємо таблицю затрат
| Зміни | Затрати на зарплату по виїмці і кріпленню | Капітальні затрати по виїмці і кріпленню |
| І-а зміна | 
| 
|
| ІІ-а зміна | 
| 
|
| ІІІ-я зміна | 
| 
|
Ці дані запишемо у вигляді нової матриці затрат 
, що отримана з матриць 
і 
за допомогою операції, яку називають множенням матриць, і позначають
Для множення матриці розміру 
на матрицю розміру 
необхідна їх узгодженність, тобто, щоб число стовпців матриці (першого співмножника) збігалося з числом рядків матриці (другого співмножника). Так в наведеному прикладі матриця узгоджується з матрицею (для кожного виду робіт є норми розцінок). Однак матриця не є узгодженою з матрицею .
Означення 1. Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається матриця 
розміру 
, елементи якої 
дорівнюють сумі добутків елементів 
-того рядка матриці на відповідні елементи 
-того стовпця матриці , тобто
.
Із структури елементів зрозуміло необхідність узгодженості матриць і : кожному елементу в -тому рядку матриці (першого співмножника) повинен відповідати елемент в -тому стовпці матриці (другого співмножника). Число рядків матриці 
дорівнює числу рядків першого співмножника, а число стовпців- числу стовпців другого співмножника.
Приклад 1. Знайти добуток матриць 
і 
, якщо 
, 
.
Розв’язання. Матриця має розмір 2х2, розмір матриці - 2х3. Число стовпців матриці дорівнює 2 і збігається з числом рядків матриці . Отже, матриці узгоджені, тому можна множити матрицю на матрицю . В результаті отримаємо матрицю 
розміром 2х3, тобто
.
Приклад 2. Переконатись, що для даних матриць
Звернути увагу, що в даному випадку 
.
Приклад 3. Переконатись, що для даних матриць
Звернути увагу, що добуток двох ненульових матриць може давати нульову матрицю, і, крім того, .
