Минимаксный критерий

Минимаксный критерий (ММ) [10] использует оценочную функцию (2.6), соответствующую позиции крайней осторожно­сти.

При

(4.8)

и

(4.9)

справедливо соотношение

(4.10)

где z _mm — оценочная функция ММ-критерия.

Поскольку в области технических задач построение множе­ства Е вариантов уже само по себе требует весьма значитель­ных усилий, причем иногда возникает необходимость в их рас­смотрении с 'различных точек зрения, условие включа­ется во все критерии. Оно должно напоминать о том, что сово­купность вариантов необходимо исследовать возможно более полным образом, чтобы была обеспечена оптимальность выби­раемого варианта.

Правило выбора решения в соответствии с ММ-критерием можно интерпретировать следующим образом:

Матрица решений || е_ij || дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов е_ir каждой строки. Выбрать надле­жит те варианты Е_{i 0}, в строках которых стоят наибольшие значения е_ir этого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столк­нуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориенти­руется. Какие бы условия F_j ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже Z мм. Это свойство застав­ляет считать минимаксный критерий одним из фундаменталь­ных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и неосознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь. Продемонстрируем это на небольшом примере (табл. 4.6).

Хотя вариант E ₁ кажется издали более выгодным, согласно ММ-критерию оптимальным следует считать E ₀={E₂}. Приня­тие решения по этому критерию может, однако, оказаться еще менее разумным, если

– состояние F ₂ встречается чаще, чем состояние f ₁, и

– решение реализуется многократно.

Таблица 4.6.

Пример вариантов решения без учета риска

	F 1	F 2	eir
E 1
E 2	1,1	1,1	1,1	1,1

Выбирая вариант E_i,. предписываемый ММ-критерием, мы, правда, избегаем неудачного значения 1, реализующегося в ва­рианте E ₁ при внешнем состоянии F ₁, получая вместо него при этом состоянии немного лучший результат 1,1, зато в состоянии F ₂ теряем выигрыш 100, получая всего только 1,1. Этот пример показывает, что в многочисленных практических ситуа­циях пессимизм минимаксного критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение ММ-критерия бывает оправданно, если ситуа­ция, в которой принимается решение, характеризуется следую­щими обстоятельствами:

– о возможности появления внешних состояний f_j ничего не известно;

– приходится считаться с появлением различных внешних состояний F_j;

– решение реализуется лишь один раз;

– необходимо исключить какой бы то ни было риск, то есть ни при каких условиях F_j не допускается получать результат, меньший, чем z _mm.