-Операция слож. матриц вводится только
для матриц одинаковых размеров
-Суммой двух матриц А и B называется
матрица С у которой элементы cij=aij+bij
-ТАкжеопределяется разность матриц
-Произведение матрицы на число наз-ся
матрица В у которой элементы bij=k*aij
-Матрица–А=(-1)А наз-ся противополож.
матрице А.Разность матриц А-Вможно
определить как А-В=А+(-В)
-Операция умнож двух матриц вводится
только тогда когда число столбц первой
матрицы равно числу строк второй
матрицы m*n умножить на n*p равно
матрицы m*p.
-Умножение производиться следующим
образом эл. iой строки и kго столбца
матрицы произведения матрицы С равен
сумме произведений элементов iй
строки матрицы А на соответствующие
элементы kго столбца матрицы В
-Операции сложения и умножения
1. А+В=В+А
2. А+(В+С)=(А+В)+С
3. А+0=А
4. А-А=0
5. 1*А=А
6. k*(A+B)=kA+kB
7. (k+c)*A=k*A+c*A
8. k*(c*A)=(k*c)*A
9. A*(B*C)=(A*B)*C
10. A*(B+C)=A*B+A*C
11. (A+B)*C=A*C+B*C
-Произведением матрицы А на матрицу
В наз-ся матрица С у которой элемент
i-строки и k-столбца равен сумме пр-ий
элементов i-строки матрицы А на
соот. элементы k-столбца матрицы В
- Матрица А- наз-ся обратной матрице А
если их пр-ие дает единичн. Матр
если detA><0, то невырожденная
если detA=0, то вырожденная
Матрица имеющая обратную
матрицу называется обратимой.
Т. Если квадратная матрица А
имеет обратную, то она единственная.
Доказательство. Пусть В и С –
две матрицы обратные к матрице А.
Тогда 
и 
-Рангом матрицы наз-ся наибольший
из порядков миноров отличных от нуля,
Ранг канонической матрицы равен числу
единиц стоящих на ее диагонали, Ранг
матрицы равен максимальному числу
линейно независимых строк матрицы А.
-При трансп. матр. ранг не меняется
-Если вычеркнуть из матрицы нулевой
столбец, то ранг матрицы не изменится
-Ранг матрицы не изменится при
элементарных преобразованиях
-Эквивалентными матрицами наз-ся
матрицы, когда одна матрица получена
из другой с помощью элементарных
преобразований матрицы ни яв-ся
равными, но их ранги равны
- Т: Для того чтобы матрица А имела
обратную необходимо и достаточно,
чтобы ее опред. был отличен от нуля
Базисный минор матрицы A
любой ненулевой минор матрицы A
порядка r, где r=rangA.
-Т Крамера система из m уравнений
и n неизвестных в случае, когда
определитель этой системы
отличен от нуля имеет решение и
только одно это решение находится
по формулам Х=deti/det для всех i
где det-определитель системы
deti-определитель матрицы полученной
заменой i-го столбца столбцом
свободных членов.
-Т о базисном миноре:
Всякий столбец матрицы есть
линейная комбинация ее базисных
столбцов сами базисные столбцы
линейно независимы (верно для строк).
-Метод Гауса (метод последовательного
исключения неизвестных) если число
базисных элементов соответствует
числу строк то у системы единственное
решение если число строк больше
числа базисных элементов то у
системы множество решений
-Однородная система – система
уравнений когда свободный член
равен нулю и система неоднородна
в противн случае aj1X1,…+…, ajnXn=0
или в матричном виде АХ=0. Любая
однородная система имеет одно
решение и совместна
-Т Кронекера-Копелы: сист. линейных
ур-ий совместна тогда и только тогда
когда ранг расширенной матрицы равен
рангу системы (необходимо достаточно)
-Вектором называется направленный
отрезок.
-Векторы называются коллинеарными,
если они параллельны одной прямой
-Векторы называются компланарными,
если они параллельны одной плоскости.
-Длиной или модулем вектора называется
длина соотв. направленного отрезка
- a + b = c, 
-Вектор b называется противоположным
вектору a, если a и b коллинеарные,
имеют противоположные направления и
Вектор, противоположный вектору
a, обозначается -а, то есть АВ=_ВА.
- а-в=а+(-в)
-Пр-ием вектора a на вещественное
число 
называется вектор b,
определяемый условием
1) 
и, если 
, то еще двумя усл:
2) вектор b коллинеарен вектору a;
3) векторы b и a направл одинаково,
если 
, и противопол, если 
.
Произведение вектора a на число 
обозначается 
(рис 1.4).
- свойства:
1) а+в=в+а
2) (а+в)+с=а+(в+с)
3)а+0=а;
4)а=(-а)=0;
5) 
6) 
7) 
8)1*а=а.
-свойства линейной зависимости
1Если среди векторов есть нулевой
2если част векторов л.з. один из
векторов равен линейной
комбинации других
3векторы коллинеарны/компланарны
4любые 4 вектора всегда л.з.
5если часть векторов л.з.
-Базис. Множество векторов на прямой
назовем одномерным векторным
пространством, множество векторов
на плоскости -- двумерным векторным
пространством, в пространстве –
трехмерным векторным пространством.
Базисом векторного пространства L
будем называть упорядоченную
систему векторов пространства,
состоящую: из одного ненулевого
вектора, если пространство одномерное;
из двух неколлинеарных векторов, если
пространство двумерное; из трех
некомпланарных векторов, если
пространство трехмерное.
Число векторов в базисе равно
размерности пространства.
Координатами вектора a в
базисе 
называются
коэффициенты разложения вектора
a по векторам базиса.
Для указания, что вектор a имеет
координаты 
, мы
будем использовать
запись 
.
Очевидно, что в фиксированном базисе
каждый вектор имеет, единственный,
набор координат. Сложение векторов
и умножение их на число связаны с
аналогичными действиями с их
координатами.
- Т о единственности разложения
Любой вектор можно разложить
по базису и это разложение
единственно т.к. три вектора
базиса л.н.з. если добавить 4 вектор
то все четыре вектора л.з.
-Декартов базис- тройка упорядо-
ченных взаимно перпендик. векторов
единичной длины (i, j, k)
-Если 
и 
взаимно перпендик.
и их модули равны единице, то базис
называется ортонормированным
- 
, 
, 
.
;
-Проекцией точки A на ось l называется
число, соответствующее основанию
перпендикуляра AB, опущенного
на ось lиз точки A.
-Проекцией вектора ABна ось lназ-ся
разность проекций конца вектора и
его начала.
Проекцию будем обозначать
- 
. 
-Скалярным произведением векторов
a и b называется число, равное 
где 
-- угол между векторами a и b.
-1) 
,
2) 
,
3) 
;
4) 
при 
;
5) 
;
6) Если 
-- угол между векторами
a и b, то 
;
7) 
, если 
;
8) 
тогда и только тогда,
когда векторы a и b ортогональны.
- Векторное произведение 2х векторов.
левая ----- правая
Тройка векторов а, в, с наз.
правоориентированной (правой), если с
конца 3го вектора с кратчайший поворот от
1го ко 2му вектору мы будем видеть против
час. стрелки. Если кратчайший поворот от
1го ко 2му по час. стрелки - левая.
Векторным произведением 2х векторов а и
в наз. такой вектор с, который удовлетворяет
условиям: 1. | c |=| a |*| b |*sinj. 2. c ^ a и c ^ b. 3.
тройка а, в, с -правая.
