Основные правила дифференцирования

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x),

то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

Дифференцирование сложных ф-ций:

Производная сложной ф-ции = произведению

производной ф-ции по промежуточному

аргументу и производной самого промежуточного

аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`,или y_x`=y<sub>U</sub>`*U_x`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

 

Дифференцирование обратной ф-ции.

y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция.

Для дифференцируемой ф-ции с производной,

не = 0, производная обратной ф-ции =

обратной величине производной данной

ф-ции, т.е. x_y`=1/y<sub>x</sub>`.

Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой

и правой части, учитывая, что предел

частного = частному пределов:

lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. y_x`=1/x_y

или f`(x)=1/j`(x)

Например: