Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:
Теорема о произв. сложной функции:
Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x),
то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).
Теорема о произв. обратной функции.
Таблица производных:
Дифференцирование сложных ф-ций:
Производная сложной ф-ции = произведению
производной ф-ции по промежуточному
аргументу и производной самого промежуточного
аргумента по независимой переменной.
y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx
Например:
Дифференцирование обратной ф-ции.
y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция.
Для дифференцируемой ф-ции с производной,
не = 0, производная обратной ф-ции =
обратной величине производной данной
ф-ции, т.е. xy`=1/yx`.
Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой
и правой части, учитывая, что предел
частного = частному пределов:
lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. yx`=1/xy
или f`(x)=1/j`(x)
Например:
