Додавання та віднімання дробів

Випадок.

При додаванні та в ідніманні рац і ональн и х дроб ів в загальному випадку необх ідно в иконати наступні дії:

1)розкладемо на множники кожний із знаменників, тобто винесемо спільний множник в знаменнику за дужки, розкладемо на множники за допомогою формул скороченого множення, способом групування, отримаємо

2) знайдемо наименший спільний знаменник, переписуємо перший, дивимося на другий знаменник і домножуємо на недостатні множники, потім третій і т. д, знаходимо до кожного дробу додатковий множник, ділимо спільний знаменник на кожний знаменник і знаходимо відповідний додатковий множник до кожного дробу, потім множимо додаткові множники на відповідні їм чисельники і записуємо весь отриманий вираз у чисельник:

 

В ЦЬОМУ ВИПАДКУ НЕ МОЖНА С КОРОЧУВАТИ ДУЖКИ З ЧИС ЕЛЬНИКА І ЗНАМЕ ННИКА!!!

необхідно розкрити дужки в чисельнику та записати отриманий вираз у чисельник, а знаменник залишити первісним:

    

             

2) після спрощення чисельника розкладаємо його на множники, щоб скоротити дріб:

           

Випадок

Приклад.

      

В цьому прикладі можна помітити, що при розкладанні на множники ще й кожного чисельника, отримаємо можливість скоротити кожний дріб та спростити приклад:

.

Приклад.

Приклад.

 

ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ З ПАРАМЕТРАМИ. ПЕРЕТВОРЕННЯ АЛГЕБРА ЇЧНИХ В И РА ЗІВ.

Рівняння з однією змінною можна привести до виду , де  і  - деякі числа (параметри), а  -змінна. Розглянемо множину рішень лінійного рівняння:

- якщо , то - будь-яке число, ,

- якщо , то рівняння не має коренів,

- якщо  - будь-яке число, то .

Напри клад: 1) Розв ' язати рівняння:.

Рішення.

Приведемо дане рівняння до виду: ;

;

;                        (1)

1) якщо і , то рівняння має одне рішення: ;

                         ;

2) якщо  то

під час підстановки у рівняння (1),отримаємо:

якщо , то - невірна рівність і рівняння не має коренів;

якщо , то  - вірна рівність і рівняння має безліч коренів.

Відповідь: якщо , то рівняння не має коренів;

       якщо , то рівняння має безліч коренів;

       якщо та , то .

2) Розв ' язати рівняння:

.

Рішення.

Запишемо рівняння у вигляді

;

;

;

;                 (2)

1) якщо  та  - будь-яке число ; то рівняння має одне рішення

; .

2) якщо  та  - будь-яке число, то під час підстановки значення  в рівняння (2) отримаємо  - вірна рівність та рівняння має безліч коренів.

Відповідь: при будь-якому значенні  та ; ;

       при будь-якому значенні  та ; рівняння має безліч коренів.

3) Розв ' язати рівняння:

.

Рішення.

;                    (3)

1) якщо           то рівняння має одне рішення ;

;

  2) якщо , - будь-якечисло, то під час підстановки значення в рівняння (3) отримаємо - вірна рівність та рівняння має безліч коренів;

 3) якщо ,  - будь-яке, то отримаємо , отже, при   маємо - вірна рівність та рівняння має безліч коренів;

при маємо: , та рівняння не має коренів.

Відповідь: якщо , то ;

       якщо та - будь-яке число або  та , то рівняння має безліч коренів;

       якщо  та , то рівняння не має коренів.

Розв ' язати рівняння:.

Рішення.

Дане рівняння може мати рішення при умові, якщо кожний з модулів дорівнює 0. Розв'яжемо систему:

Перше має рішення при будь-якому значенні параметра .

Розглянемо рішення другого рівняння.

Якщо та   - будь-яке число, то ,

якщо та , то , а при підстановці в перше рівняння отримаємо ,

якщо  та , то рішень немає.

Відповідь: якщо та   - будь-яке число, то ,

           якщо та , то та ,

       якщо  та , торішень немає.

Розв ' язати рівняння:.

Рішення.

Дане рівняння може мати рішення при умові, якщо кожний з модулів дорівнює 0. Розв'яжемо систему:

   

Розв'яжемо першу систему із сукупності:

з другого рівняння системи

якщо      , то .

Щоб система мала рішення, необхідно, щоб . Розв'яжемо пропорцію та знайдемо значення параметра , при якому ця умова виконується.

   ,    ,   

,    ,    .

Якщо , то при підстановці в друге рівняння першої системи отримаємо - невірна рівність, значить, рівняння та перша система не будуть мати рішень.

Розв'яжемо другу систему із сукупності:

1)

якщо , то , якщо , то -невірна рівність, отже,рівняння не має коренів.

2) ;

якщо , то ; якщо , то отримаємо - невірна рівність, рівняння та друга система не має коренів.

Щоб друга система мала рішення, необхідно виконання умови:           

  - невірна рівність та друга система не має рішень ні при яких значеннях параметра .

Відповідь: якщо , то рівняння має корінь ;

       якщо , то рівняння не має коренів.

За в дан ня. Розв'язати рівняння:

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. .