28. Центр кола, яке описане навколо рівностороннього трикутника, належить будь-якій медіані і ділить у трикутнику цю медіану у відношенні 2:1, починаючи з вершини.
29. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника - середина гіпотенузи.
|
Властивість дотичних.
Відрізки дотичних рівні.
АВ=АС; В, С - точки дотику.
31. Відстань між центрами двох кіл, що стосується випадку зовнішнього дотику, дорівнює сумі радіусів цих кіл, а у випадку внутрішнього дотику – різниці радіусів.
Зовнішній дотик. ОК=ОС+СК, ОС, СК – радіуси.
Внутрішній дотик. ОК=ОС–КС, ОС, КС – радіуси.
32. Коло називається вписаним у трикутник, якщо всі сторони трикутника є дотичні до кола.
3 3. Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник .
34. Теорема. Центр вписаного кола в трикутник - точка перетину бісектрис кутів трикутника.
ЧОТИРИКУТНИКИ.
1. Чотирикутник – фігура, що складається із чотирьох точок і чотирьох послідовно з'єднуючих їх відрізків.
Особливості:
- ніякі триз даних точок не лежать на одній прямій;
- з'єднуючі їх відрізки не перетинаються.
Точки – вершини, відрізки – сторони чотирикутника. Сусідні вершини – кінці однієї сторони. Протилежні вершини – ті, які не є сусідніми.
Діагональ чотирикутника – відрізок, що з'єднує протилежні вершини чотирикутника.
Завдання. Зобрази в зошиті чотирикутник, познач і вкажи всі елементи.
Опуклий чотирикутник, якщо він лежить в одній півплощині щодо будь-якої прямої, що містить його сторону.
Завдання. Познач і визнач опуклість чотирикутників.
2. Паралелограм ( визначення) – це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.
3. Властивості паралелограма:
1) діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл;
2) у паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні;
3) діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутники;
4) сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180 ;
5) сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін (доведення розглянемо після вивчення відповідного матеріалу).
Доведення цих теорем:
1 властивість)
Дано: АВСD - паралелограм. ВD і АС - діагоналі. Довести: 1)ВD і АС перетинаються; 2) ВО=ОD і АО=ОС. |
Доведення:
1. Позначимо т. О – середину діагоналі ВD, продовжимо відрізок АО і відкладемо ОС = АО.
2. З ВОС і DОА:
ВО = ОD (за побудовою), ОС = АО (за побудовою), ВОС = DОА (за властивістю вертикальних кутів).
Значить, ВОС = DОА за 1 ознакою рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними). Таким чином, ОВС = ОDА – внутрішні різносторонні кути при ВС і АD, і січній ВD.
3. Отже, ВС || АD.
4. ВС||АD (АВСD – паралелограм), значить, точки С і С збігаються (аксіома паралельності прямих і аксіома відкладання відрізків), паралелограм АВСD і чотирикутник АВС D – збігаються і
1)ВD і АС перетинаються; 2) ВО=ОD і АО=ОС (за побудовою).
2 властивість)
Дано: АВСD -паралелограм. Довести: 1)АD = ВС, АВ = DС, 2) А = С, D = В. |
Доведення:
1. Проведемо ВD – діагональ.
2. З ВСD і DАВ: АВD = СDВ (за властивістю внутрішніх різносторонніх кутів при АВ || DС і січній ВD), АDВ = СВD (за властивістю внутрішніх різносторонніх кутів при АD||ВС і січній ВD), ВD – спільна сторона.
Значить, ВСD = DАВ за 2 ознакою рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими до неї кутами). Отже, АD=ВС,
АВ=DС, А= С, D= В.
3 властивість) – доведітьсамостійно в зошиті.
4 властивість) – доведітьсамостійно в зошиті.
4. Ознаки паралелограма:
1) якщо у чотирикутнику дві протилежні сторони рівні і паралельні, то цей чотирикутник є паралелограм;
2) якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину поділяються навпіл, то цей чотирикутник є паралелограм;
3) якщо у чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник є паралелограм.
До ведення:
1 ознака)
Дано: КОАМ – чотирикутник, КО=МА, КО||МА. Довести: КОАМ – паралелограм. |
Доведення:
1. Проведемо діагональ МО.
2. З МКО і ОАМ:
КО = МА (за умовою), КОМ = ОМА (за властивістю внутрішніх різносторонніх кутів при КО||МА і січній МО), МО – спільна сторона.
Значить, МКО= ОАМ за 1 ознакою рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними).
3. Таким чином, КМО = АОМ – внутрішні різносторонні кути при МК і АО, і січній МО.
4. МК || АО (за ознакою паралельності прямих).
5. КОАМ – паралелограм (за визначенням).
2 ознака) – доведітьсамостійно в зошиті.
3 ознака) – доведітьсамостійно в зошиті.
5. Прямо кут ник (означення) – паралелограм, у якого всі кути прямі.
6. Властивості прямо кут ника:
1) всі властивості паралелограма;
2) діагоналі прямокутника рівні;
3) відстань від точки перетину діагоналей до протилежних сторін рівні.