Информационная система, как один из видов сложных систем, характеризуется:
1. Асинхронностью: отдельные подсистемы функционируют независимо, взаимодействуя друг с другом время от времени, при этом обычно трудно указать время начала и конца такого взаимодействия и его длительность, т.е. время взаимодействия подсистем никак не учитывается.
2. Недетерминированностью: подсистемы взаимодействуют в процессе функционирования системы в произвольные моменты времени, что делает поведение системы случайным (стохастическим), т.е. система при одних и тех же начальных условиях может функционировать по-разному, порождая не единственный процесс, а некоторое множество процессов.
3. Параллелизмом: несколько подсистем могут функционировать в системе одновременно, не влияя друг на друга (т.е. в системе могут протекать одновременно ряд параллельных процессов);
4. Конфликтностью: наличие в системе такой подсистемы, которая необходима для функционирования ряда других подсистем, но она может взаимодействовать с ними не одновременно, а только поочередно (либо с одной, либо с другой, но не вместе с обеими);
5. Синхронизацией: обеспечение такого взаимодействия конфликтующих систем, чтобы исключить “тупиковые ситуации”, связанные с невозможностью дальнейшего функционирования системы(т.е. согласование во времени нескольких систем, потребляющих общий ресурс).
Событие (event) 
- некоторый факт в системе, трактуемый как потенциальное действие одной из ее подсистем, которое может реализоваться один раз, повториться многократно или не произойти ни разу.
Пусть 
-множество событий, возможных в системе 
. Взаимосвязи между событиями вводятся не с помощью непосредственных связей между ними, а путем описания тех ситуаций, при которых данное событие может реализоваться.
Условие (condition) 
- предикат, являющийся логическим описанием ситуации, при которой некоторое событие 
может произойти (реализоваться). Т.е. если предикат, соответствующий условию имеет значение “истина (“1”)”, то событие может произойти; если предикат, соответствующий условию имеет значение “ложно (“0”)”, то событие реализоваться не может. Через 
обозначается множество условий, которые связаны с событиями, принадлежащими множеству 
.
На практике, для того чтобы произошло событие , часто может потребоваться выполнение не одного условия, а одновременно определенного сочетания условий.
Предусловие (pre-condition) - логическое отношение “ 
” нескольких условий, при истинном значении которого некоторое событие может реализоваться.
Пусть 
множество условий, входящих в предусловие события 
. При реализации события условия 
изменяются переходя из состояния “истинно” в состояние “ложно”. В то же время реализация события может оказывать влияние на какие-то условия, изменяя их значения.
Постусловие (post-condition) - определенное сочетание нескольких условий 
, на которые оказывает влияние реализация события , делая их значения “истинными”.
Пусть 
множество условий, входящих в предусловие события 
. При реализации события условия 
принимают значения “истина”. В частном случае условия 
и могут содержать только по одному условию или быть пустыми множествами.
В отличие от синхронных математических моделей, в которых события явно привязаны к определенным моментам времени, заменим временные зависимости между событиями их причинно-следственными связями, которые устанавливают частичный порядок возникновения событий.
Причинно-следственная связь (pre/consequence condition) -непосредственная зависимость между событием и условиями , принадлежащими его предусловию и постусловию 
.
Введенные понятия позволяют определить состояние системы, заданной множеством событий , множеством условий и совокупностью причинно - следственных связей, определенных для всех событий следующим образом.
Состояние системы (state of system) 
- совокупность значений истинности для каждого из условий , в некоторый момент времени 
.
Пусть 
множество всех допустимых состояний системы 
.
Основой изменения состояний системы является реализация тех или иных конкретных событий системы , которые переводят ее из текущего состояния 
, в новое состояние 
. Совокупность действий, возникающих как реализации событий при функционировании системы, образует процесс, порождаемый этой системой.
Правилами переходов 
называются предположения, которые должны выполняться при изменении состояний системы в результате реализации отдельных событий.
1. Отказ от временных зависимостей приводит к тому, что события являются элементарными, т.е. являются неделимыми и происходят “мгновенно”, а изменения значений условий в предусловиях 
и постусловиях 
происходят одновременно, т.е. выполнение события 
считается незримым актом.
2. Реализация события приводит к тому, что все условия становятся “ложными”, а - “истинными”.
3. Считается, что события в системе не могут происходить одновременно, т.е. возможны только локальные изменения, связанные с реализацией одного конкретного события .
4. Каждое событие при определенных условиях может реализоваться хотя бы один раз.
5. Каждое состояние системы является достижимым из другого состояния за конечное число реализаций некоторой совокупности событий 
.
Если событие имеет длительность отличную от нуля, например, -” задание в процессоре обрабатывается 
минут 
”, и это существенно для функционирования системы, то событие представляется в виде двух событий 
и 
, которые происходят мгновенно:
- “ начало обработки задания в процессоре”;
- “ конец обработки задания в процессоре”;
и вновь вводимого условия - “ обработка задания в процессоре в течение минут”, которое удовлетворяет следующим отношениям принадлежности: 
и 
.
Если два события 
с предусловиями 
и постусловиями 
должны в системе реализовываться одновременно, то вместо них в систему вводится новое событие 
с предусловием 
и постусловием 
, которое интерпретируется как одновременная реализация событий 
.
Таким образом, рассматриваемый класс сложных систем можно описать с помощью математической модели, представляющей из себя условно/событийную систему, которая моделирует изменение условий в результате реализации событий.
Условно/событийная система (condition/event system) – четверка 
, где - конечное непустое множество событий; - конечное непустое множество условий; - множество достижимых состояний; 
-отображение, описывающее совокупность правил перехода.
Введенное формализованное описание сложной системы как условно/событийной системы позволяет не только описывать ее структуру, но и анализировать динамические процессы, происходящие в ней.
Поведение условно/событийной системы (behavior od system) -последовательный переход системы из начального состояния 
в любое достижимое состояние 
в результате реализации некоторой совокупности событий согласно правилам перехода .
Переход (transition) 
- вершина двудольного графа, изображаемая черточкой “ ”.
Обозначим 
конечное число переходов:
(имеется хотя бы один переход);
,m - число рассматриваемых в системе событий (под систем или их действий).
Позиция (place) 
- вершина двудольного графа, изображаемая кружком “ “, которая соответствует условию 
.
Обозначим через 
- конечное множество позиций:
(имеется хотя бы одна позиция);
число рассматриваемых в системе условий;
-конечное множество;
- элемент множества 
не может быть одновременно элементом множества 
.
Причинно-следственные связи между событиями и условиями будем изображать в двудольном графе стрелочками “ Þ “:
– дуга, идущая от позиции к переходу 
: Þ , обозначает причинную связь между условием 
предусловия 
и событием 
;
– дуга, идущая от перехода к позиции : Þ , обозначает следственную связь между событием и условием , принадлежащим постусловию 
;
– соединения между вершинами одного типа не допускаются, т.е. позиции соединяются только с переходами, а переходы - только с позициями;
– каждый элемент 
должен иметь как минимум одно соединение, т.е. в двудольном графе не может быть изолированных вершин.
В некоторых случаях, чтобы событие реализовалось (произошло), условие 
должно повториться несколько раз (например, 
).
Пучок дуг (bund of arches) - специальная дуга, которая изображается двойной стрелкой “ 
” и помечается числом 
, равным кратности дуги.
Входная функция (функция предшествования; прямая функция инцинденций) - отображение 
которое каждому переходу 
ставит в соответствие комплект входных позиций: 
Выходная функция (функция следования; обратная функция инцинденций) - отображение 
которое каждому переходу ставит в соответствие комплект выходных позиций: 
Входная 
и выходная 
функции могут быть соответственно заданы с помощью матрицы прямых инцинденций 
и матрицы обратных инцинденций 
размерности 
, в которых строки соответствуют позициям, а столбцы – переходам.
Сеть Петри(Petrinet) - четверка 
, задающая причинно - следственные связи в условно/событийной системе, где - конечное непустое множество переходов; 
конечное непустое множество позиций; 
входные и выходные функции.
Таким образом, сеть Петри является графическим представлением структуры (статической топологии) моделируемой условно/событийной системы в виде двудольного графа с двумя видами вершин: вершин 
(изображаемых кружками) и вершин (изображаемых черточками). Эта абстрактная модель была предложена в 1962 г. немецким исследователем Карлом Адамом Петри для описания параллельных потоков информации в асинхронных системах.
В зависимости от вида ориентированного графа, изображающего условно/событийную систему, можно указать следующие типы сетей Петри.
Связная сеть Петри - сеть Петри , двудольный ориентированный мультиграф которой позволяет пройти из любой вершины в любую другую вершину по пути вдоль и против дуг.
 |  |  |  | ||||
Сильно-связная сеть Петри - сеть Петри , двудольный ориентированый мультиграф которой позволяет из любой вершины пройти в другую только вдоль дуг.
Емкость 
й позиции - целое неотрицательное число 
, которое характеризует степень выполнения го условия:
– 0, е условие не выполнено, ”ложно”;
– 
1, е условие выполнено, ”истинно”;
– 
е условие выполнено с 
-кратным запасом;
– ( - целое положительное число).
Маркер (taken) - символ в виде точки “ 
”, который используется в соответствующих кружках (позициях) для обозначения емкости каждого из условий, то есть маркер является примитивным понятием сети Петри, подобным понятиям “переход” и “позиция”. Наличие маркера внутри кружка (позиция 
), говорит о выполнении условия 
(это событие “истинно”), а отсутствие маркера говорит о невыполнении условия (оно - ”ложно”).
Маркировка (разметка) сети Петри (marking) - отображение 
(множество натуральных чисел), с помощью которого всем позициям сети Петри приписываются определенные емкости 
.
Маркировка сети Петри может быть задана с помощью 
мерного вектора маркирования:
который полностью описывает текущее состояние 
условно/событийной системы в некоторый момент времени .
При 
будем иметь начальную маркировку 
, которая задает исходное состояние системы 
перед началом ее функционирования.
Маркированная сеть Петри 
сеть Петри 
с заданной начальной маркировкой .
Динамическое поведение условно/событийной системы, описываемой с помощью сети Петри, можно определить следующим образом.
Функционирование (поведение, работа) сети Петри - последовательный процесс изменения количества и местоположения маркеров в позициях 
маркированной сети Петри 
при ее переходе из одного состояния в другое.”
Таким образом, представление реальной условно/событийной системы в виде маркированной сети Петри является формальной и наглядной записью алгоритма ее функционирования. При этом невозможные события (события, в некоторых входных позициях которого отсутствуют маркеры) произойти (реализоваться) не могут.
Последовательность маркеров в сети Петри отражает динамику процесса, так как поток событий распространяется вдоль направления дуг ориентированного графа сети Петри. Хотя сеть Петри не содержит временных характеристик процессов в явном виде, она отражает определенное временное упорядочение событий, заданное отношениями типа: “раньше”, “позже”, “одновременно”, “независимо” и т. д. При этом функционирование сети Петри не указывает в какое время реализуется возможное событие, а только позволяет учесть реальную асинхронность и недетерминированность времени реализации событий.
Типы сетей Петри
