Мяч, прыгающий по ступенькам

Простейшая задача отскока мяча, рассмотренная в главе 4, может быть обобщена в нескольких направлениях. Модель Balls_on_stairs из папки Model Examples\Part IV демонстрирует одно из таких обобщений — отскоки мяча на ступеньках. В модели учитывается сопротивление воздуха и потеря энергии при отскоке мяча. Учитывается также, что мяч может попасть на угол ступеньки. Это типичная задача моделирования гибридных систем, в которых наряду с непрерывными процессами присутствуют и дискретные события, меняющие непрерывное поведение системы.

Описание модели

В модели кроме координат х, у и скоростей vx, vy по этим координатам ис­пользуются следующие переменные:

□ n — номер очередной ступеньки;

□ xStep и yStep — координаты угла очередной ступеньки;

□ d — расстояние от угла очередной ступеньки до центра мяча;

□ alpha — угол вектора от угла очередной ступеньки до центра мяча. Параметры модели следующие:

□ r — радиус мяча;

□ k — коэффициент потери энергии при отскоке мяча;

□ k1 — коэффициент, учитывающий сопротивление воздуха; □ h и w — высота и ширина ступеней;

□ n — число ступеней лестницы.

Сопротивление воздуха учитывается тем, что по каждой координате умень­шение скорости пропорционально квадрату скорости, например:

d(vx)/dt = -kl*vx*vx.

Кроме отскока мяча от ступеньки лестницы, учитывается возможность его отскока и на углу ступеньки. Для этого в стейтчарте добавлен еще один переход, в котором величина d сравнивается с радиусом мяча. Как только условие d<=r выполняется, этот переход срабатывает, вычисляется нор­мальная составляющая скорости и определяются новые скорости мяча по координатам.

На рис. 12.8 представлено окно анимации модели. Для большей наглядности в анимацию добавлена ломаная, координаты точек которой пересчитывают-ся каждый раз, как только срабатывает таймер timer. Последняя точка ло­маной устанавливается в центр мяча с координатами (х,у), а координаты каждой другой точки принимают значения, которые при предыдущем пере­счете имела следующая по номеру точка ломаной. График слева является фазовым портретом движения мяча, он показывает зависимость координаты у мяча от координаты х, фактически он представляет движение в простран­стве (и поэтому соответствует анимации). График справа вверху представля­ет зависимость координаты у от времени.

Модель выравнивания цен

Динамические системы — это не только модели технических систем. В эко­номике тоже встречаются модели, относящиеся к этому классу. Одной из таких моделей является модель выравнивания цен по уровню актива. Эта модель воспроизводит гармонические колебания решений возле некоторого стационарного состояния, которые можно наблюдать в жизни. Модель при­ведена на сайте журнала Exponenta.ru [ЕХ05].

Предположим, что изменение уровня актива q пропорционально разности между предложением s и спросом D, т. е. d(Q)/dt=k(S-D). Пусть изменение цены р пропорционально отклонению актива q от некоторого фиксирован­ного уровня q0 так, что d(p) /dt=-m(Q-Q0). Предложение s и спрос d про­порциональны величине цены р: s=aP+so, d=cp+do.

Эта простая модель в AnyLogic строится за несколько минут. Она находится в папке Model Examples с именем price. На рис. 12.9 приведены перемен­ные этой модели и их зависимости. В задачах экономики анализ взаимных зависимостей переменных модели играет важнейшую роль. Для анализа структур таких зависимостей была разработана новая парадигма моделиро­вания систем, которая называется Системной динамикой. Эту парадигму мы рассмотрим в следующей главе.

Заключение

Можно думать об AnyLogic как об интерактивной программной среде, авто­матизирующей решение систем алгебро-логических уравнений, описываю­щих поведение сложных динамических систем. В отличие от инструментов,

основанных на блочном подходе, AnyLogic позволяет непосредственно запи­сывать алгебраические и дифференциальные уравнения в аналитическом виде, что является значительно более удобным и наглядным, чем использо­вание блоков для каждой операции, будь то интегрирование, умножение или сложение. Запись уравнений в аналитическом виде, которая использо­вана в AnyLogic для описания систем — это именно та нотация, в которой привыкли размышлять исследователи, инженеры и разработчики систем управления. Кроме возможности аналитической записи уравнений, AnyLogic содержит также традиционные средства спецификации динамических сис­тем в виде блоков, дополнительные возможности организации иерархиче­ской структуры сложных моделей, а также средства построения анимации и использования стейтчартов для переключения режимов поведения динами­ческих объектов, что существенно упрощает разработку моделей и помогает пониманию процессов, происходящих в динамической системе. Некоторые примеры динамических систем, модели которых легко могут быть реализо­ваны в AnyLogic, представлены на сайте www.dynamical-systems.org.

Глава 13

Системная динамика

Идея моделирования сложных систем на самом верхнем уровне абстракции, когда исследователь абстрагируется от индивидуальных объектов системы (сотрудников, машин, документов, товаров) и рассматривает только агреги­рованные количественные характеристики потоков таких объектов, взаимо­влияния и взаимозависимости динамики этих потоков была предложена Дж. Форрестером (Jay W. Forrester), профессором Массачусетс кого техноло­гического института (Massachusetts Institute of Technology, MIT) почти 50 лет назад ([JF58], [JF59], [JF61]). Дж. Форрестер применил принципы исследо­вания обратной информационной связи, существующей в сервомеханизмах, для демонстрации того, что динамика функционирования сложных систем, в первую очередь производственных и социальных, существенно зависит от структуры связей и временных задержек в принятии решений и действиях, которые имеются в системе. Парадигма компьютерного моделирования, при которой для исследуемой системы строятся графические диаграммы при­чинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие парамет­ры во времени, а затем модель, созданная на основе этих диаграмм, имити­руется на компьютере, получила название системная динамика.

Графическая нотация для моделирования всех компонентов системы и их взаимосвязей делают системную динамику очень удобным инструментом визуального представления всей системы, организации в целостном виде. Системная динамика представляет сегодня парадигму, метод и графический язык для представления моделей сложных систем, а также для их имитаци­онного компьютерного выполнения. Сложные связи и взаимные влияния процессов часто встречаются в бизнесе, экологии, социальных системах, урбанистике и т. п. Системная динамика оказалась очень эффективным мето­дом для представления и анализа проблем динамики организационных систем (таких как анализ рынка, управление проектами, управление цепочками по­ставок), она дает исследователю понимание эффекта, который производит на систему изменение тех или иных параметров, позволяет сравнить альтерна­тивные решения по управлению системой с выбором наилучшего решения.

В настоящее время системная динамика превратилась в зрелую науку. Общество системной динамики (The System Dynamics Society, www.systemdynamics.org) является официальным форумом системных анали­тиков во всем мире. Ежеквартально выходит журнал System Dynamics Review, ежегодно созываются несколько международных конференций по этим проблемам. Системная динамика как методология и инструмент ис­следования сложных экономических и социальных процессов изучается во многих бизнес-школах по всему миру. Глубокая монография [JSOO] по при­менению методов системной динамики в экономике написана Дж. Штерма-ном, профессором Слоановской школы бизнеса MIT.