Модель линейного программирования является как бы «моментальным снимком» реальной ситуации, когда параметры модели (коэффициенты целевой функции и неравенств ограничений) предполагаются неизменными. Естественно изучить влияние изменения параметров модели на полученное оптимальное решение задачи ЛП. Такое исследование называется анализом чувствительности.
В этом разделе анализ чувствительности основывается на графическом решении задачи ЛП. Рассмотрим два случая: (1) изменение коэффициентов целевой функции и (2) изменение значений констант в правой части неравенств ограничений. Хотя проведенное исследование будет элементарным и ограниченным, оно покажет основные идеи методов анализа чувствительности.
Изменение коэффициентов целевой функции
Применим процедуру анализа чувствительности к примеру 1.1. На рисунке 1.3 видно, что функция z =5x 1 +4x 2 достигает максимальное значение в угловой точке С. При изменении коэффициентов целевой функции z =с1x 1 +с2x 2 точка С останется оптимальной до тех пор, пока угол наклона линии z будет лежать между углами наклонов двух прямых, пересечением которых является точка С. Этими прямыми являются 
(ограничение на сырье М1) и 
(ограничение на сырье М2). Алгебраически это можно записать следующим образом:
или
Итак, если коэффициенты с1 и с2 удовлетворяют приведенным выше неравенствам, оптимальное решение будет достигаться в точке С.
Приведенные выше неравенства можно использовать при определении интервала оптимальности для какого-либо одного коэффициента целевой функции, если предположить, что другой коэффициент остается неизменным. Например, если в нашей модели зафиксировано значение коэффициента с2=4, тогда интервал оптимальности для коэффициента с1 получаем из неравенств
путем подстановки туда значения с2=4. После выполнения элементарных арифметических операций получаем неравенства для коэффициента с1:2≤с1≤6. Если зафиксировать значение с1=5, тогда из неравенства
получаем интервал оптимальности для с2: 10/3 ≤ с2 ≤10.
Рисунок 1.3 - Определение интервала оптимальности коэффициентов ЦФ
Стоимость ресурсов
Во многих моделях линейного программирования ограничения трактуются как условия ограниченности ресурсов. В таких ограничениях правая часть неравенств является верхней границей количества доступных ресурсов. В этом разделе мы изучим чувствительность оптимального решения к изменению ограничений, накладываемых на ресурсы. Такой анализ задачи ЛП предлагает простую меру чувствительности решения, называемую стоимостью единицы ресурса; при изменении количества доступных ресурсов (на единицу) значение целевой функции в оптимальном решении изменится на стоимость единицы ресурса. Проиллюстрируем этот вид анализа на нашем сквозном примере 1.1.
В модели для компании первые два неравенства представляют собой ограничения на использование сырья М1 и М2 соответственно. Определим стоимость единиц этих ресурсов.
Начнем с ограничений для сырья М1. Напомним, что в данной задаче оптимальное решение достигается в угловой точке С, являющейся точкой пересечения прямых, соответствующих ограничениям на сырье М1 и М2 (рисунок 1.4). При изменении уровня доступности материала М1 (увеличения или уменьшения текущего уровня, равного 24т) точка С оптимального решения «плывет» вдоль отрезка DG. Любое изменение уровня доступности материала М1, приводящее к выходу точки пересечения С из этого отрезка, ведет к неосуществимости оптимального решения в точке С. Поэтому можно сказать, что концевые точки D =(2,2) и G =(6,0) отрезка DG определяют интервал осуществимости для ресурса М1. Количество сырья М1, соответствующего точке D =(2,2), равно 6х1+4х2=6 × 2+4 × 2=20 т. Аналогично количество сырья, соответствующего точке G =(6,0), равно 6х1+4х2=6 × 6+4 × 0=36 т. Таким образом, интервал осуществимости для ресурса М1 составляет 20≤М1≤36 (здесь через М1 обозначено количество материала М1). Если мы определим М1 как М1=24+ D 1, где D 1 - отклонение количества материала М1 от текущего уровня в 24т, тогда последнее неравенство можно переписать как 20≤24+ D 1 ≤36 или -4≤ D 1 ≤12. Это означает, что текущий уровень ресурса М1 может быть уменьшен не более чем на 4т и увеличен не более чем на 12т. В этом случае гарантируется, что оптимальное решение будет достигаться в точке С - точке пересечения прямых, соответствующих ограничениям на ресурсы М1 и М2.
Рисунок 1.4 - Нахождение интервала осуществимости для ресурса М1
Теперь вычислим стоимость единицы материала М1. При изменении количества сырья М1 от 20 до 36 тонн, значения целевой функции z будут соответствовать положению точки С на отрезке DG. Обозначим через y 1 стоимость единицы ресурса М1, получим следующую формулу:
Если точка С совпадет с точкой D =(2,2), то z =5*2+4*2=18 (тыс.руб.), если же точка С совпадает с точкой G =(6,0), тогда z =5*6+4*0=30 (тыс.руб.). Отсюда следует, что
.
Этот результат показывает, что изменение ресурса М1 на одну тонну (если общее количество этого ресурса не меньше 20 и не больше 36 тонн) приведет к изменению в оптимальном решении значения целевой функции на 0,75 тыс.руб.
Теперь рассмотрим ресурс М2. На рисунке 1.5 видно, что интервал осуществимости для ресурса М2 определяется концевыми точками B и H отрезка BH, где B =(4,0) и H =(8/3,2). Точка H находится на пересечении прямых ED и BC. Находим, что количество сырья М2, соответствующее точке В, равно х1+2х2=1 × 4+2 × 0=4 т, а в точке H - х1+2х2=1 × 8/3+2 × 2=20/3 т. Значение целевой функции в точке В равно z =5 × 4+4 × 0=20 (тыс.руб.), а в точке H - z =5 × 8/3+4 × 2=64/3 (тыс.руб.). Отсюда следует, что количество сырья М2 может изменяться от 4 до 20/3 тонн, а стоимость единицы ресурса М2, обозначенная как y 2, равна
.
Рисунок 1.5 - Нахождение интервала осуществимости для ресурса М2
Контрольные вопросы
1 Что подразумевается под графическим решением задачи ЛП?
2 Как определяются интервалы оптимальности для коэффициентов оптимальности для целевой функции графическим способом?
3 Как находятся интервалы осуществимости для ресурсов?
4 Как определяются стоимости ресурсов графически?
Тема 2 Симплекс-метод
