Лекции.Орг


Поиск:




При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.




       Для того, чтобы функция  являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

 т.е.

       Т.к. ekx ¹ 0, то  - это уравнение называется характеристическим уравнением.

 

       Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение  имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.

 

       В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

       Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 

       1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

       2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

                   a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

                                     

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

                                        и .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнения ставится в соответствие 2 m решений:

                                                      

       3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

 

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 

 

       Пример. Решить уравнение .

 

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение имеет вид:

 

       Пример. Решить уравнение

 

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

       Таким частным решением будет являться функция

 

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

 

Общее решение имеет вид:

Окончательно:

 

               

 

       Пример. Решить уравнение

 

Составим характеристическое уравнение:

 

       Общее решение:

 

       Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 

 

       Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

                                                                                                      

Общее решение:

 

 

       Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

           

 

       Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 

 

       Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 

 

       Пример. Решить уравнение

 

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим.

       Понизим порядок уравнения с помощью подстановки

Тогда

Окончательно получаем:

 

Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0.

 

 

       Пример. Решить уравнение

 

Производим замену переменной:

Общее решение:

 

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2018-10-15; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 203 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Студенческая общага - это место, где меня научили готовить 20 блюд из макарон и 40 из доширака. А майонез - это вообще десерт. © Неизвестно
==> читать все изречения...

942 - | 891 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.012 с.