произвольными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение вида 
Определение. Выражение 
называется линейным дифференциальным оператором.
Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:
1) 
2) 
Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:
1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением.
2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением.
Структура общего решения.
Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка
,
то этот определитель называется определителем Вронского.
(Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)
Теорема. Если функции 
линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.
Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.
Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.
Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.
,
где Ci – постоянные коэффициенты.
Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка.
Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений.
Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде.
Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена.
Теорема. Если задано уравнение вида 
и известно одно ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле:
Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.
