Линейные однородные дифференциальные уравнения с

произвольными коэффициентами.

 

       Рассмотрим уравнение вида

 

       Определение. Выражение  называется линейным дифференциальным оператором.

       Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

 

       1)

       2)

 

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

 

       1) Если функция у₁ является решением уравнения, то функция Су₁, где С – постоянное число, также является его решением.

       2) Если функции у₁ и у₂ являются решениями уравнения, то у₁ +у₂ также является его решением.

 

Структура общего решения.

 

       Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

 

       Определение. Если из функций y_i составить определитель n – го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

(Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)

 

       Теорема. Если функции  линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

 

       Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

 

       Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения  была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

       Теорема. Если  - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

,

где C_i – постоянные коэффициенты.

 

       Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

 

 

Общее решение линейного однородного дифференциального

уравнения второго порядка.

 

       Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений.

       Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде.

       Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена.

 

       Теорема. Если задано уравнение вида  и известно одно ненулевое решение у = у₁, то общее решение может быть найдено по формуле:

 

       Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.