Уравнения, не содержащие явно искомой функции

и ее производных до порядка k – 1 включительно.

Это уравнения вида:

В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

Тогда получаем:

 

       Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:

Делая обратную подстановку, имеем:

Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:

 

 

       Пример. Найти общее решение уравнения .

Применяем подстановку

Произведя обратную замену, получаем:

Общее решение исходного дифференциального уравнения:

 

       Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0.

 

 

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

 

       Это уравнения вида

Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных

 и т.д.

 

       Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

       Если это уравнение проинтегрировать, и - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:

 

       Пример. Найти общее решение уравнения

 

       Замена переменной:

 

       1)

Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной:

 

       С учетом того, что , получаем:

Общий интеграл имеет вид:

       2)           

 

       Таким образом, получили два общих решения.

 

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

 

       Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных  вида:

 

где p ₀, p ₁, …, p_n – функции от х или постоянные величины, причем p ₀ ¹ 0.

 

       Левую часть этого уравнения обозначим L (y).

 

       Определение. Если f (x) = 0, то уравнение L (y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f (x) ¹ 0, то уравнение L (y) = f (x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p ₀, p ₁, p ₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L (y) = f (x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

 

       Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

       Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.