коэффициентами.
Уравнения с правой частью специального вида.
Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.
Различают следующие случаи:
I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
где 
- многочлен степени m.
Тогда частное решение ищется в виде:
Здесь Q (x) - многочлен той же степени, что и P (x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение 
.
Решим соответствующее однородное уравнение: 
Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.
Частное решение ищем в виде: , где 
Т.е. 
Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.
Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.
Итого, частное решение: 
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m 1 и m 2 соответственно.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
где число r показывает сколько раз число 
является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q 1 (x) и Q 2 (x) – многочлены степени не выше m, где m - большая из степеней m 1 и m 2.
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.
Т.е. если уравнение имеет вид: 
, то частное решение этого уравнения будет 
где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений
и 
Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.
Пример. Решить уравнение 
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- sin x).
Составим и решим характеристическое уравнение: 
1. Для функции f 1 (x) решение ищем в виде 
.
Получаем: 
Т.е. 
Итого: 
2. Для функции f 2 (x) решение ищем в виде: 
.
Анализируя функцию f 2 (x), получаем: 
Таким образом, 
Итого: 
Т.е. искомое частное решение имеет вид: 
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
Рассмотрим примеры применения описанных методов.
Пример. Решить уравнение 
Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
Общее решение однородного уравнения: 
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Частное решение имеет вид: 
Общее решение линейного неоднородного уравнения: 
Пример. Решить уравнение 
Характеристическое уравнение: 
Общее решение однородного уравнения: 
Частное решение неоднородного уравнения: .
Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:
Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение. Совокупность соотношений вида:
где х- независимая переменная, у1, у2,…,у n – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.
Такая система имеет вид:
(1)
Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.
Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n -1) –мерного пространства функции 
… 
непрерывны и имеют непрерывные частные производные по 
, то для любой точки 
этой области существует единственное решение
системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям 
Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций 
, 
, … 
, которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.
