Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами.

 

Уравнения с правой частью специального вида.

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

       Различают следующие случаи:

I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где - многочлен степени m.

       Тогда частное решение ищется в виде:

Здесь Q (x) - многочлен той же степени, что и P (x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

 

       Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

Частное решение ищем в виде: , где

Т.е.  

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

       Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

       Итого, частное решение:

 

 

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

 

 

      

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

 

Здесь Р₁(х) и Р₂(х) – многочлены степени m ₁ и m ₂ соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

 

где число r показывает сколько раз число  является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q ₁ (x) и Q ₂ (x) – многочлены степени не выше m, где m - большая из степеней m ₁ и m ₂.

 

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

       Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у₁ и у₂ – частные решения вспомогательных уравнений

 и

 

       Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

Пример. Решить уравнение

 

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f ₁ (x) + f ₂ (x) = x + (- sin x).

Составим и решим характеристическое уравнение:

 

1. Для функции f ₁ (x) решение ищем в виде .

Получаем:  Т.е.

 

Итого:

 

 

2. Для функции f ₂ (x) решение ищем в виде: .

Анализируя функцию f ₂ (x), получаем:

 

       Таким образом,

 

 

 

Итого:

 

       Т.е. искомое частное решение имеет вид:

 

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

 

 

 

       Рассмотрим примеры применения описанных методов.

 

       Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

 

       Общее решение однородного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Частное решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного уравнения:

       Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения: .

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

 

 

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

       Определение. Совокупность соотношений вида:

где х- независимая переменная, у₁, у₂,…,у _n – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

 

       Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

       Такая система имеет вид:

                                                                                                  (1)

 

       Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.

 

       Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n -1) –мерного пространства функции  …  непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки  этой области существует единственное решение

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х₀ и удовлетворяющее начальным условиям

 

       Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.