Леммы 1 и 2 называются основными правилами комбинаторики.

Пусть имеется множество из n элементов a₁, a₂,a_n. Будем рассматривать выборку объема k  из n элементов. Все выборки можно классифицировать по 2 признакам:

1. упорядоченные и неупорядоченные.

2. с возвращением и без возращения.

Если выборка упорядоченная, то выборки с одним и тем же составом выбранных элементов, но разным порядком элементов в выборках, считаются различными.

Если выборка считается неупорядоченной, то все выборки с одним и тем же составом элементов отождествляются.

Пример. Возьмем множество из трех элементов {1,2,3}. Выбираем k=2.

(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3);	(1,1);(1,2);(1,3); (2,2);(2,3); (3,3);	С возвращением
(1,2);(1,3); (2,1);(2,3); (3,1);(3,2);	(1,2);(1,3); (2,3);	Без возвращения
упорядоченная	Неупорядоченная	выборка

 

Составим общую таблицу числа выборок:

		С возвращением
		Без возвращения
упорядоченная	Неупорядоченная	Выборка

Упорядоченная  выборка с возвращением ). Каждый элемент выборки может принимать n значений, т.е. число выборок . Упорядоченная выборка без возвращения .

o Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением. Число размещений .

Пример. В лифт 12-этажного дома зашли 3 человека. Найти вероятность того, что все вышли на разных этажах.

    n=11³.

    , .

o Перестановкой из k элементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке.

    P_k -число перестановок из k элементов. , поскольку 0!=1.

o Произвольное k-элементное подмножество множества n элементов называется сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через .

. , где .

.

Свойства сочетаний:

1. .

2. .

3. .

4. .

 

 

 Геометрические вероятности.

 

Предположим, что на числовой оси имеется некоторый отрезок [a,b] и на этот отрезок наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что эта точка попадет на .

—геометрическая вероятность на прямой.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством:

— геометрическая вероятность на плоскости.

Пусть в пространстве имеется фигура v, составляющая часть фигуры V. На фигуру V наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру v определяется равенством:

—геометрическая вероятность в пространстве.

Недостатком классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Для устранения этого недостатка и вводят геометрические вероятности.

Произведение событий

Свойства вероятности.

Свойство 1. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. . .

Свойство 2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. , .

Для любого события . , т.к. , то  и следовательно .

Сумма событий

Свойство 3.

Свойство 4. Если события А и В несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей:

.

.