Интервальная оценка при малой выборке

При достаточно большом объеме выборки можно сделать вполне надёжные заключения о параметрах генеральной совокупности. Однако на практике часто имеют дело с выборками небольшого объема . Кроме того, почти всегда оказывается неизвестной генеральная дисперсия.

Имея выборку, можно найти лишь исправленную выборочную дисперсию  и выборочную среднюю . Выразим отклонение выборочного среднего от генерального через  и некоторый параметр . 

  или 

Или представим это в виде интервала:

где - коэффициент Стьюдента, который находится по таблицам, согласно заданному объему выборки и доверительной вероятности.

Задача 1. Содержание свободного гепарина крови принимало следующие значения  с частотой появления .

(мг,%)	5,7	5,9	6,3	5,6	4,1	4,0	4,5	5,0	5,1	6,7
	5	11	2	7	4	15	13	23	9	1

 

Вычислить выборочную среднюю арифметическую, медиану и моду. Построить полигон частот.

Решение:

Выборочная средняя определяется по формуле:

где,

Для определения медианы по заданным параметрам строим вариационный ряд:

	4,0	4,1	4,5	5,0	5,1	5,6	5,7	5,9	6,3	6,7
	15	4	13	23	9	7	5	11	2	1

 

При четном числе вариант медиана определится как среднее арифметическое из двух центральных вариант:

Мода:

Используя данные таблицы, строим полигон частот:

Задача2. Измерения роста мужчин представлены статистическим интервальным рядом распределения:

(см)	150-154	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182	182-186
	1	3	11	23	25	22	11	3	1

 

Построить гистограмму. Вычислить выборочное среднее арифметическое, медиану и моду.

Решение:

Находим шаг интервала :

Заполняем таблицу:

(см)	150-154	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182	182-186
	1	3	11	23	25	22	11	3	1
(см)	154	156	160	164	168	172	176	180	184
(см)	152	468	1760	3772	4200	3784	1936	540	184
	0,25	0,75	2,75	5,75	6,25	5,5	2,75	0,75	0,25

Выборочное среднее арифметическое

Медиана:

Мода:

Задача 3. Найти исправленную дисперсию ,стандарт отклонения  для показателя гемоглобина, значения которого приведены ниже.

Показатель гемоглобина	73	72	71	70	69	68	67	66	65
Число лиц	2	4	6	10	11	7	5	4	1	n=50

Решение:

Составим дополнительную таблицу:

	146	288	426	700	759	476	335	264	65
	14,59	7,95	3,3	0,67	0,32	1,39	4,75	10,11	17,47
	29,18	31,8	19,8	6,72	3,56	9,74	23,73	40,44	17,47

Находим выборочное среднее арифметическое по формуле:

Находим исправленную дисперсию по формуле:

Стандарт отклонения

 

Задача 4. Найти исправленную дисперсию  стандарт отклонения для веса щитовидной железы, значения которого даны в таблице:

( г )	60	68	70	72	90	100	105	120	125	130
	2	2	6	5	7	8	7	2	3	4

Решение:

Для удобства решения задачи заполним таблицу:

	60	68	70	72	90	100	105	120	125	130
	2	2	6	5	7	8	7	2	3	4
	120	136	420	360	630	800	735	240	375	520
	1156	676	576	484	16	36	121	676	961	1296
	2312	1352	3456	2420	112	288	847	1352	2883	5184

 

Рассчитаем суммы:

Исправленную дисперсию определяем по формуле:

где - частота появления варианты

 - значение варианты

-сренее выборочное арифметическое

-объем выборки.

Используя данные таблицы, находим:

Стандарт отклонения (исправленное среднее квадратическое отклонение) находим по формуле:

 (г)

Ответ:  (г)

Задача 5. Пять измерений относительной вязкости крови человека дали следующие результаты: 4,80; 4,70; 4,85; 4,75; 4,90 (10^-3 Па∙с). Найти среднее арифметическое и величину доверительного интервала при доверительной вероятности 0,95.

Решение:

1. Определим среднее арифметическое

Определим стандарт отклонения среднего арифметического:

для этого составим таблицу:

	4,80	4,70	4,85	4,75	4,90
	0	-0,1	0,05	-0,05	0,1
	0	0,01	0,0025	0,0025	0,01

Определим доверительной интервал при доверительной вероятности . По таблице находим коэффициент Стьюдента, .

Зная, что доверительной интервал определяется следующим образом:

 находим

Таким образом, истинное значения относительной вязкости крови человека, с вероятностью 95%, лежит в интервале от 4,72∙10^-3 Па∙с до 4,87∙10^-3 Па∙с.

 

ТЕОРИЯ КОРРЕЛЯЦИИ

ПЛАН:	8.1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
	8.2. Корреляционное поле. Линии и уравнения регрессии.
	8.3. Коэффициент корреляции и его свойства.
	8.4. Экспериментальное определение коэффициента корреляции для линейной зависимости.

Выявление связей (корреляций) между различными случайными параметрами и случайными процессами широко используется в медицинской диагностике. С помощью корреляционного анализа решаются задачи установления обоснованного диагноза. Целью диагноза является установление с высокой надежностью вида заболевания при определенных симптомах. Установление корреляций между различными показателями состояния больного и влиянием их изменений на жизнедеятельность организма является важной задачей лабораторных и клинических исследований. Все системы, ткани, органы, клетки организма находятся в корреляционной связи друг с другом.

Определение коэффициента корреляции позволяетсяопределить существование и степень связи между различными выборками.