Простейшие методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Этот метод основан на использовании свойств неопределённого интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличной форме.

Например:

1.

 

2.

 

3.

 

4.

Каждое промежуточное интегрирование даёт свою произвольную . Алгебраическая сумма произвольных постоянных будет так же произвольной постоянной. Поэтому в окончательном результате принято ставить одну произвольную постоянную.

 

Метод подстановки (замены переменной)

Этот метод основан на введении новой переменной. В интеграле  сделаем подстановку:

;

;

тогда:

Например:

1.

 

2.

 

3.

Интегрирование по частям

Пусть и - дифференцируемые функции, то: , откуда

проинтегрируем это выражение

или

Например:

1)

2)

 

3)

 

3.ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ПЛАН:	3.1. Понятие определённого интеграла и его геометрический смысл.
	3.2. Связь между определённым и неопределённым интегралами.
	3.3. Свойства определённого интеграла.
	3.4. Основные методы нахождения определённого интеграла.
	3.5. Приложения интегрального исчисления (вычисление площадей плоских фигур).

При математических расчётах часто требуется найти приращение первообразной функции при изменении её аргумента в заданных пределах. Такую задачу приходится решать при вычислении площадей и объёмов различных фигур, при определении среднего значения функции, при вычислении работы переменной силы. Эти задачи могут быть решены вычислением соответствующих определённых интегралов.

3.1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Рассмотрим задачу о нахождении площади криволинейной трапеции.

Пусть дана некоторая функция , график которой изображён на рисунке.

На оси выберем точки и  и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с кривой. Фигура, ограниченная кривой, перпендикулярами и осью  называется криволинейной трапецией. Разобьём интервал  на ряд небольших отрезков. Выберем произвольный отрезок . Достроим криволинейную трапецию, соответствующую этому отрезку до прямоугольника. Площадь такого прямоугольника определится как:

.

Тогда площадь всех достоверных прямоугольников в интервале  будет равна:

Если каждый из отрезков достаточно мал и стремится к нулю, то суммарная площадь прямоугольников будет стремиться к площади криволинейной трапеции:

Итак, задача о вычислении площади криволинейной трапеции сводится к определению предела суммы.

Интегральная сумма есть сумма произведения приращения аргумента на значение функции , взятой в некоторой точке интервала, в границах которого изменяется аргумент. Математически задача о нахождении предела интегральной суммы, если приращение независимой переменной стремится к нулю, приводит к понятию определённого интеграла.

Функция  в некотором интервале от до интегрируема, если существует такое число , к которому стремится интегральная сумма при . В этом случае число называют определённым интегралом функции  в интервале :

где – область интегрирования ( – нижний предел интегрирования, – верхний предел интегрирования).

Таким образом, с точки зрения геометрии, определённый интеграл есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции в определённом интервале и осью абсцисс.

 

3.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЁННЫМ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫМ ИНТЕГРАЛАМИ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА.

Неопределённый интеграл - это совокупность первообразных функций.

Определённый интеграл - это число.

Связь между ними задаётся формулой Ньютона-Лейбница.

Теорема. Значение определённого интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределами интегрирования:

 

Например:

1.

 

2.

 

3.3. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

2. Определённый интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций , заданных на отрезке  равен сумме определённых интегралов от слагаемых функций:

3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

4. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определённый интеграл изменит свой знак на противоположный:

5. Если , то

6. Если отрезок интегрирования  разбить на две части и , то:

7. Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования сохраняет постоянный знак, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция, т.е. если , то

8. Значение определённого интеграла заключено между произведениями наибольшего и наименьшего значений подынтегральной функции на длину интервала интегрирования:

где – наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке.

9. Определённый интеграл от непрерывной функции равен произведению значения этой функции в некоторой промежуточной точке отрезка интегрирования  на длину отрезка :

где - среднее значение функции в интервале. 

 

3.4. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Непосредственное интегрирование

1)

 

2)

 

2. Метод подстановки

1)

2)

 

3. Интегрирование по частям

1)