Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей - это раздел математики, который изучает закономерности случайных величин массового характера.

Теория вероятностей и математическая статистика нашли применение в теории эпидемий, в разработке математических методов медицинской диагностики, в организации здравоохранения и т.д. Реальные явления обычно слишком сложны и законы, управляющие случайными явлениями, затушёваны осложняющими факторами. Поэтому первоначально эти законы изучались на играх, которые являются исключительно простыми моделями случайных явлений.

В теории вероятностей исследуются закономерности, относящиеся к случайным событиям, величинам, процессам. Врачи редко задумываются, что постановка диагноза имеет вероятностный характер и как остроумно замечено, лишь патологоанатомическое исследование может достоверно определить диагноз умершего человека.

Случайным событием в теории вероятностей называют всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Случайные события обозначается:

Предположим, что проводится массовое обследование (например: определяется температура тела, давление крови, проводятся анализы мочи, крови и т.д.).

При этом происходят события:

 - наличие нормального давления крови

 – наличие повышенного давления

 – наличие повышенной температуры

Д – наличие сахара в моче

Е – пониженное содержание лейкоцитов в крови и т.д.

Каждое из перечисленных событий обладает какой-то степенью возможности: одни - большей, другие – меньшей. Чтобы сравнивать между собой события по степени их возможности, введено некоторое число – вероятность, которое тем больше, чем более возможно событие.

Вероятность события А вычисляется как предел к которому стремится частота события , где  - число испытаний,  - число событий при неограниченном увеличении числа испытаний т.е. при :

Или в общем случае в серии из независимых испытаний:

Задача. При обследовании 250 человек с помощью флюорографии были выявление следующие заболевания: у 7 человек – опухоль в лёгких, у 3 человек плеврит, у 5 человек - остаточные явления после воспаления лёгких. Найти вероятность этих заболеваний, выявленных с помощью флюорографии.

Дано                    Решение

Испытанием называется совокупность обстоятельств, при которых появляется случайное событие. Например: измерение температуры; проведение флюорографического обследования; подсчет числа больных, доставленных с определенным диагнозам и т.п.

Самой большой вероятностью, равной 1, обладает достоверное событие, т.е. такое, которое обязательно произойдет в результате опыта (например, в результате проведения анализа крови мы обнаружим там лейкоциты).

Наименьшая вероятность, равная 0, уневозможного события, т.е. такого, которое не может произойти в данном опыте (например, отсутствие лейкоцитов в крови человека).

Однако, если бы все события были достоверными или невозможными, не потребовалась бы и теория вероятностей. Как правило, в результате опыта может произойти несколько различных событий (например: при измерении давления крови: норма, повышенное, пониженное; при определении группы крови 1, 2, 3 или 4 и т.д.).

Если в результате опыта непременно должно появиться одно из рассматриваемых событий, то их называют полной группой событий (например: давление крови человека может быть нормальное, пониженное, повышенное). Перечисленные события являются также несовместными т.е. при испытании никакие 2 из них не могут появиться вместе (при одном измерении не может быть давление и повышенным и нормальным).

Два несовместных события, составляющих полную группу, называются противоположными ( и ). Например: норма и отклонение или наличие заболевания и отсутствие.

Несколько событий называются равновозможными если нет оснований считать, что одно из них объективно более возможно, чем другое. Например: появление 1,2,3,4,5 и 6 очков при бросании игральной кости; при бросании монеты появление герба или цифры.

Рассмотрим сложное событие, являющееся результатом двух последовательных испытаний. В первом испытании осуществилось событие , а во втором – событие . Проведение первого испытания может влиять на вероятность осуществления второго, а может и не влиять. В первом случае события и  называются независимыми, а во втором – зависимыми. В качестве примера рассмотрим модель урны с белыми и черными шарами. Тогда событие – из урны извлечен белый шар, событие  – из урны извлечен черный шар. После того, как был извлечен белый шар, можно вернуть шар в урну, а можно и не возвращать. В первом случае перед вторым испытанием мы возвращаем систему в исходное состояние, и, следовательно, второе испытание (извлечение второго шара) будет независимо от первого. Во втором случае, когда мы не возвращаем шар, ситуация изменится: количество шаров в урне изменится, и изменится соотношение белых и черных шаров в урне, а следовательно, в этом случае изменятся вероятности, характеризующие события и .

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет (например: группа крови у второго донора не зависит от того, какая она у первого).

Событие называется зависимым от события , если вероятность события зависит от того, произошло событие или нет.

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается .

Задача. К экзамену студент выучил только 20 билетов из 30.

1). Какова вероятность того, что ему достанется невыученный билет (событие ).

2). Изменится ли вероятность этого события, если раньше другой студенты уже вытащил один билет из тех, что не выучен первым студентом (событие ).

Дано                                  Решение