Геометрический смысл производной

Пусть функция задана графически (рис. 1). Возьмем на кривой произвольно точку . Зададим приращение аргументу , тогда функция получит приращение и на графике мы получим точку с координатами . Проведем секущую и обозначим угол наклона секущей к оси через :

Пусть , тогда точка будет стремиться к точке , величина угла будет изменяться. При приближении к касательной , угол приближается к углу , следовательно, равен угловому коэффициенту касательной:

Рис.1 Геометрический смысл производной.

Таким образом, геометрический смысл производной заключается в том, что она есть угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ

1. Производная постоянной величины равна нулю:

где,

2. Производная аргумента по самому аргументу равна единице:

3. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций:

Например: .

4. Производная произведения двух функций определяются по формуле:

Например: .

5. Производная частного двух функций определяются по формуле:

Например:

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ОСНОВНЫХ

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

10.

11.

12.

13.

14.

15.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть у нас есть сложная функция: . Эту сложную функцию (или функцию от функции) можно представить в виде элементарных функций, которые являются её промежуточными аргументами.

Если функция имеет производную , а функция производную в соответствующей точке , то сложная функция в данной точке имеет производную , которая находится по формуле:

Например:

4. Определить зависимость градиента концентрации от координаты, если зависимость концентрации от координаты задана функцией: , где - константа, - концентрация вещества при .

Решение: Величина градиента концентрации определяется выражением и характеризует быстроту изменения концентрации при изменении координаты. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции получим:

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка и обозначается или .

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т.д.

Физический смысл производной второго порядка заключается в том, что вторая производная от пути по времени равна мгновенному ускорению переменного движения:

Например:

1. Найти производную второго порядка от функции:

2. Найти скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания по закону:

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И

ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на дифференциал аргумента:

Для объяснения геометрического смысла дифференциала функции обратимся к рисунку 1. Из треугольника находим:

Но из определения дифференциала функции: , следовательно

Таким образом, отрезок , равный дифференциалу функции геометрически представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке с абсциссой при переходе от точки касания в точку с абсциссой .

Например:

Найти дифференциал функции: .