Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями

Симметричные матрицы A и F назовем конгруэнтными, если найдется невырожденная матрица P, что . Матрицы билинейной формы в различных базисах конгруэнтны. Из теоремы Лагранжа вытекает, что симметричная квадратная матрица конгруэнтна диагональной матрице diag (1,…,1.-1,…,-1,0,…,0). Опишем алгоритм приведения симметричной квадратной матрицы F к диагональному виду элементарными преобразованиями. Отметим, если мы совершаем какие то действия со строками матрицы F, то те же самые действия надо совершить и со столбцами матрицы. Номера столбцов будут указываться в квадратных скобках, а номера строк – в круглых скобках.

1. Положим r =1.
2. Если , то перейдем на шаг 4, иначе шаг 3.
3. Положим , , где . Затем увеличим r на 1 и вернемся на шаг 2.
4. Если найдется i, что , то положим ,  и вернемся на шаг 2. В противном случае перейдем на шаг 5.
5. Если для всех i, j > r справедливо неравенство , то алгоритм работу закончил. В противном случае найдутся номера i, j, для которых . Тогда переставим строки  и столбцы  и вернемся на шаг 2.

Легко проверить, что предложенный алгоритм построит диагональную матрицу конгруэнтную исходной матрице. Преобразованиями вида ,  можно добиться, чтобы на главной диагонали стояли только 0,1,-1. Перестановками строк и столбцов элементы матрицы, стоящие по главной диагонали, можно расположить в порядке не возрастания.

Если приписать справа единичную матрицу, то элементарные преобразования можно запомнить в ней.

Закон инерции квадратичных форм.

Теорема 4.4 Закон инерции. Для любой эрмитовой билинейной функции нормальный вид определяется единственным образом.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть найдется два базиса  и , в которых нормальный вид различный. Пусть  и  и . Поскольку , то нормальный вид различен только если . Для определенности положим . Обозначим через W линейную оболочку векторов , а через U – линейную оболочку векторов . Для не нулевого вектора  имеем  и , а для вектора  выполняются равенства  и . Пересечение подпространств  не может содержать векторов отличных от нуля, но . К полученному противоречию привело допущение . Таким образом теорема доказана.

Число положительных слагаемых в нормальном виде эрмитовой формы называется положительным индексом инерции, а число слагаемых с отрицательными коэффициентами – отрицательный индекс инерции. Индексы инерции эрмитовых форм не зависят от выбора базиса.

Теорема Якоби

Обозначим через  угловой минор j -го порядка матрицы F (и положим ).

Теорема 4.5 Якоби. Пусть  (k =1,2,.., r). Существует канонический базис , для которого , при k =1,2,.., r, и  при k > r.

Доказательство очевидным образом повторяет Следствие 4.6.

Критерий Сильвестра.

 Эрмитовая форма  называется положительно определенной, если для любого   справедливо неравенство .

Теорема 4.6 Критерий Сильвестра положительной определенности. Эрмитова форма положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры (расположенные по главной диагонали) строго больше нуля.

Доказательство. Если все главные миноры F строго больше нуля, то и все угловые миноры матрицы F строго больше нуля. По теореме Якоби найдется базис, в котором эрмитова форма имеет вид . Поскольку все коэффициенты строго больше нуля, то эрмитова форма положительно определена.

Покажем обратное. Допустим, найдется главный минор матрицы F, не больше нуля. Не нарушая общности можно считать, что это угловой минор порядка k, так как в противном случае перенумеруем переменные соответствующим образом. Далее, можно считать, что все угловые миноры до (k -1)-го порядка больше нуля. Действительно, иначе можно положить k равным меньшему значению. Положим все переменные с номером больше k равными нулю. В результате получим эрмитову форму от k переменных с матрицей . Угловые миноры этой матрицы до (k -1)-го порядка больше нуля, и, значит можно воспользоваться теоремой Якоби. В некотором базисе эта форма имеет вид . По построению , и, значит, найдется не нулевой вектор, значение эрмитовой формы  на котором не больше нуля, что противоречит ее положительной определенности. К полученному противоречию привело допущение о существовании не положительных главных миноров матрицы F. Следовательно, все главные миноры больше нуля.

Квадрики.