Уравнение прямой и плоскости в пространстве

Плоскость – линейное многообразие размерности 2. Плоскость в пространстве задаётся одним уравнением . Подпространство, соответствующее плоскости, задаётся однородным уравнением . В ортонормированном базисе левая часть уравнения является скалярным произведением вектора  и вектора плоскости . Таким образом, множество векторов плоскости состоит только из тех векторов, которые ортогональны вектору нормали . Расстояние от точки  до плоскости  равно  . Следовательно, коэффициент  определяет удалённость плоскости от начала координат

Прямая в пространстве задаётся системой из двух уравнений (см. раздел Ошибка! Источник ссылки не найден.) , причём ранг матрицы, образованной коэффициентами при неизвестных, равен 2. Разберём геометрический смысл коэффициентов. Представив прямую как пересечение двух плоскостей, приходим к выводу, что векторы  и  образуют базис плоскости перпендикулярной исходной прямой.

Евклидово пространство. Скалярное произведение.

Пусть V линейное пространство над полем вещественных чисел. Функция , ставящая каждой паре векторов в соответствие число, называется скалярным произведением если выполнены аксиомы

1. Линейность по первому аргументу .

2. Симметричность:

3. Положительная определенность  при .

Пространство над полем вещественных чисел, в котором введено скалярное произведение называется евклидовым.

Величина  называется длиной вектора.

Пусть  базис V. Выразим скалярное произведение векторов через координаты векторов. Координаты вектора x в базисе e обозначим через . Тогда . Пользуясь свойством линейности выводим . Используя симметричность скалярного произведения и линейности по первому аргументу выводим . Обозначим через G матрицу Грама базисных векторов, то есть матрицу на пересечении строки i столбца j стоит скалярное произведение i-го и j-го вектора . Используя матричные операции умножения получаем .

Изменение матрицы Грама при изменении базиса.

Допустим, в евклидовом пространстве V заданы два базиса  и . Обозначим через  матрицу перехода, связывающие координаты вектора в разных базисах. Пусть для определённости . Скалярное произведение не зависит от выбора базиса, поэтому . Подставим в правую часть равенства вместо координат вектора в базисе e их выражение через координаты в базисе f. В результате придём к равенству . Поскольку полученное равенство справедливо для любых векторов x и y, то выводим .

Ортогональность.

Определение 2.1. Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.

Теорема 2.1 (Пифагора). Пусть векторы x и y ортогональны, тогда .

Доказательство. , т.к.  в силу ортогональности.

Теорема 2.2 (неравенство Бесселя). Пусть векторы x и y ортогональны, тогда .

Доказательство. По теореме Пифагора . Поскольку , то , что и требовалось.

Теорема 2.3 (неравенство Коши-Буняковского-Шварца). .

Доказательство. Для любого a справедливо неравенство . Раскроем левую часть . В левой части неравенства записан квадратный трехчлен. Выделим из него полный квадрат . Положив  получим неравенство  из которого вытекает . Извлекая квадратный корень, получаем требуемое.

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца позволяет ввести угол между векторами, то есть косинус угла равен отношению .

Определение 2.2 Система векторов называется ортогональной, если каждая пара векторов из этой системе ортогональна.

Свойство 2.1. Ортогональная система векторов линейно не зависима.

Доказательство. Пусть  - ортогональная система векторов и . Тогда . Таким образом  и система векторов линейно независима.

Свойство 2.2. Матрица Грама ортогональной системы векторов – диагональная.

Процесс ортогонализации.

Пусть  линейно не зависимая система векторов. Следующий процесс позволяет строить эквивалентную ей ортогональную систему векторов:

Положим , , …, …. Процесс не может быть продолжен только в случае, когда . Но тогда , и, значит, , что противоречит линейной независимости исходной системы векторов.

Ортогональность построенной системы проверяется непосредственно. Допустим, ортогональность системы векторов  установлена. Покажем, что вектор  ортогонален всем векторам, построенным ранее него. Действительно, , где k =1,2,… i -1. В силу ортогональности системы векторов  в сумме из правой части равенства только одно не нулевое слагаемое, получаемое при j = k. Следовательно, .

Следствие 2.1 В любом подпространстве конечномерного евклидова пространства имеется ортогональный базис.

Доказательство. Возьмем базис подпространства и применим к нему процесс ортогонализации. В результате будет построена ортогональная система векторов (а, значит, и линейно независимая) из этого подпространства. Поскольку количество векторов в построенной системе совпадает с размерностью подпространства, то, следовательно, построенная ортогональная система векторов является базисом подпространства.

Следствие 2.2. Любую ортогональную систему векторов можно дополнить до ортогонального базиса всего пространства.

Доказательство. Пусть  - ортогональная система векторов. Дополним ее до базиса всего пространства векторами  и к полученной системе  применим процесс ортогонализации. В результате будет построен ортогональный базис  всего пространства. Поскольку первые k векторов были ортогональны, то в процессе ортогонализации они не изменились, т.е. ,…, . Таким образом, векторы  дополняют ортогональную систему  до ортогонального базиса всего пространства.

Следствие 2.3. Пусть  - базис пространства, а  - ортогональный базис пространства, полученный из базиса  процессом ортогонализации. Тогда матрица перехода от одного базиса к другому является треугольной, и на ее главной диагонали стоят 1.

Доказательство. Согласно процессу ортогонализации имеем , , …, …, а, значит, матрица перехода P (ее столбцы – координаты базисных векторов) равна .