Однозначное отображение 
линейного пространства V над числовым полем P в себя называется линейным преобразованием, если оно сохраняет линейность, то есть 
для любых 
и 
.
Линейное преобразование полностью определяется своими значениями на базисных векторах. Действительно, пусть 
базис V. Вектор x разложим по базису 
, где 
- координаты вектора x. По свойству линейного преобразования имеем 
. Перейдем в последнем равенстве от равенства векторов к равенству их координат 
, которое можно записать используя матричное умножение следующим образом 
. Матрица 
называется матрицей линейного преобразования и обозначается 
. Матрица линейного преобразования связывает координаты образа с координатами исходного вектора 
.
Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.
Поскольку линейное преобразование частный случай линейного оператора, то можно воспользоваться полученной ранее формулой 
, где P – матрица перехода. Матрицы A и B называются подобными, если существует невырожденная матрица P, что 
. Вопрос о подобии матриц сводится к решению системы линейных уравнений 
, где в роли неизвестных выступают элементы матрицы P, с дополнительным нелинейным условием 
.
Алгебра линейных преобразований.
На множестве всех линейных преобразований пространства V расмотрим операции:
1. Умножение на число: 
.
2. Сложение (вычитание) 
3. Умножение 
.
Легко проверить линейность всех этих преобразований и вывести следующие формулы, связывающие их матрицы
1. 
2. 
3. 
Линейное преобразование, переводящее каждый вектор в себя, называется тождественным преобразованием и обозначается 
. В любом базисе матрица тождественного преобразования равна единичной.
Пусть 
- некоторый многочлен, - линейное преобразование пространства V. Сопоставим многочлену 
линейное преобразование 
. Будем говорить, что преобразование 
получено подстановкой в многочлен . Матрица может быть вычислена по формуле 
.
Свойство 7.1. Пусть 
. Тогда 
.
Инвариантные пространства
Подпространство W называется инвариантным относительно линейного преобразования , если для любого x из W его образ 
также принадлежит W.
Свойство 7.2. 
- инвариантное подпространство.
Доказательство. Пусть 
. Тогда 
.
Свойство 7.3. 
- инвариантное подпространство.
Доказательство. Пусть 
, тогда 
.
Свойство 7.4. Пусть - многочлен, тогда 
инвариантное пространство относительно .
Доказательство. Пусть 
, то есть 
. Далее, 
, то есть 
.
Свойство 7.5. Пусть - многочлен, тогда 
инвариантное пространство относительно .
Доказательство. Пусть 
, тогда 
. Далее, 
, то есть 
.
Знание инвариантных подпространств позволяет найти базис пространства, в котором матрица линейного преобразования имеет простую структуру. Действительно, пусть 
базис инвариантного подпространства W. Дополним его до базиса всего пространства векторами 
. Координаты образов первых k векторов могут иметь только k первых ненулевых компонент. Следовательно, в матрице линейного преобразования содержится в левом нижнем углу блок размером (n - k)* k, состоящий из одних нулей.
Если пространство V представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств W и U, то построим базис пространства V, объединив базисы W и U. В построенном базисе матрица линейного преобразования будет иметь блочно диагональный вид.
Таким образом, структура матрицы линейного преобразования имеет тем более простой вид, чем меньше размерность инвариантных подпространств, в прямую сумму которых расщепляется исходное пространство V.