Матрица линейного оператора.

Пусть  базис W. Разложим вектор x из W по этому базису  и найдем его образ . Из полученного равенства видно, что образ вектора определяется координатами вектора и значениями линейного оператора на базисных векторах. Обозначим через  базис V. Координаты вектора x из W в базисе  обозначим через , а координаты вектора y из V в базисе  обозначим через . Перейдем в последнем равенстве от равенства векторов к равенству их координат  , которое можно записать используя матричное умножение следующим образом . Матрица  называется матрицей линейного оператора и обозначается .

Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса.

Получим формулу изменения матрицы линейного оператора при изменении базиса в пространствах V и W. Пусть  новый базис W, а  новый базис V. Координаты вектора в разных базисах связаны матрицей перехода. Пусть [ x ] _e = T [ x ] _h и [ y ] _f = Q [ y ] _g. Отсюда и равенства  выводим  или . Сопоставляя полученное равенство с , получаем равенство матриц .

Алгебра линейных операторов.

Обозначим через  множество линейных операторов, действующих из пространства W в пространство V. На множестве  определим операции умножения оператора на скаляр  и сложение операторов . Оператор назовем нулевым, если все векторы переводятся в ноль. Нулевой оператор обозначим через 0, т.е . Относительно операций умножения на скаляр и сложения множество линейных операторов  образует линейное пространство. Отметим, что  и .

Пусть W, V, U – линейные пространства над полем P, а  линейный оператор из W в V,  - линейный оператор из V в U. Отображение  из W в U является линейным оператором и обозначается . Пусть  - базис W,  - базис V,  - базис U, тогда .

Простейший вид матрицы линейного оператора.

Эквивалентность матриц

Матрицы A и B называются эквивалентными, если найдутся невырожденные матрицы Q и T, что A = QBT.

Теорема 6.1. Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны.

Доказательство. Поскольку ранг произведения не превосходит ранги сомножителей, то . Так как , то . Объединяя два неравенства, получаем требуемое утверждение.

Теорема 6.2. Элементарными преобразованиями со строками и столбцами матрицу A можно привести к блочному виду , где  - единичная матрица порядка k, а 0 – нулевая матрица соответствующих размеров.

Доказательство. Приведем алгоритм приведения матрицы A к указанному виду. Номера столбцов будут указываться в квадратных скобках, а номера строк – в круглых скобках.

1. Положим r =1.

2. Если  то перейдем на шаг 4, иначе перейдем на шаг 3.

3. Сделаем преобразования со строками , где i = r +1,…, m, и со столбцами , где j = r +1,…, n, и . Увеличим r на 1 и вернемся на шаг 2.

4. Если , при i = r +1,…, m, j = r +1,…, n, то конец. В противном случае найдем i, j > r, что . Переставим строки  и столбцы , вернемся на шаг 2.

Очевидно, что алгоритмом будет строиться последовательность эквивалентных матриц, последняя из которых имеет требуемый вид.

Теорема 6.3. Матрицы A и B одинаковых размеров эквивалентны тогда и только тогда, когда их ранги равны.

Доказательство. Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны (Теорема 6.1). Пусть ранги матриц равны. Тогда найдутся невырожденные матрицы, что , где r = rgA = rgB (Теорема 6.2). Следовательно, , и матрицы A и B – эквивалентны.

Результаты данного пункта позволяют находить простейший вид матрицы линейного оператора и базисы пространств, в которых матрица линейного оператора имеет этот простейший вид.