Свойство 2.7. Определитель матрицы Грама от линейно зависимой системы векторов равен 0.
Доказательство. Пусть система векторов 
- линейно зависима. Тогда, либо система содержит нулевой вектор, и утверждение в этом случае очевидно, либо найдется вектор 
, линейно выражающийся через предыдущие векторы системы. В матрице Грама 
вычтем из i -ой строки, предыдущие строки с коэффициентами 
. Определитель матрицы Грама при этом не изменится, а i -ая строка станет равной нулю. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю, а, значит, и определитель матрицы Грама равен нулю.
Рассмотрим геометрический смысл матрицы Грама от линейной не зависимой системы векторов . Если k =1, то 
- квадрат длины вектора. Если k >1, то применим к системе векторов процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов 
. Обозначим через P матрицу перехода от системы к системе . Эта матрица имеет треугольный вид, а на ее главной диагонали стоят 1, и ее определитель равен 1. Кроме того, 
и, следовательно, определители матриц Грама равны. Поскольку система векторов - ортогональна, то матрица Грама от этой системы векторов – диагональная, и ее определитель равен произведению квадратов длин векторов этой системы. Таким образом, установлено равенство 
. Рассмотрим случай k =2. Тогда 
равна длине высоты параллелограмма, опущенного на сторону 
(см. рис. 1). Следовательно, произведение 
равно площади параллелограмма натянутого на векторы 
, а определитель матрицы Грама 
равен квадрату площади этого параллелограмма. Если k =3, то вектор 
является ортогональной составляющей вектора 
к плоскости, натянутой на векторы . Следовательно, определитель матрицы Грама от трех векторов равен квадрату объема параллелепипеда, натянутого на векторы 
. Поскольку все рассуждения обобщаются на произвольную размерность, то тем самым установлено свойство.
Свойство 2.8 Определитель матрицы Грама от системы векторов равен 0, если система линейно зависима, и квадрату объема k -мерного параллелепипеда натянутого на векторы иначе.
Покажем теперь неравенство Адамара.
Теорема 2.4. 
Доказательство. Если система векторов линейно зависимая, то неравенство очевидно. Пусть эта система векторов линейно независимая. Применим к ней процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Вектор 
является ортогональной составляющей вектора 
на линейную оболочку векторов 
, и, значит, 
по неравенству Бесселя (Теорема 2.2). Далее, 
, что и требовалось доказать.
Неравенство Адамара обращается в равенство, только если исходная система векторов является ортогональной. В остальных случаях неравенство – строгое.
Следствие 2.5 Справедливы неравенства 
и 
.
Доказательство. В n -мерном арифметическом пространстве определим скалярное произведение по формуле 
. Рассмотрим систему векторов, образованную столбцами матрицы A. Матрица Грама от этой системы векторов равна 
и по неравенству Адамара 
. Поскольку 
, то неравенство установлено. Применяя полученное неравенство к транспонированной матрице, выводим .
Следствие 2.6 Пусть 
. Тогда 
.
Доказательство очевидно.
Положим 
и, далее, по индукции 
. Матрица 
имеет порядок 
, ее определитель равен 
и все ее элементы равны 
. Легко убедиться, что неравенство (Следствие 2.6) обращается на этой матрице в равенство.
