Рассмотрим несовместную систему линейных уравнений Ax = b. Псевдорешением системы линейных уравнений называется вектор x, на котором достигается минимум нормы невязки | Ax - b |. Задача построения псевдорешения возникает при подборе параметров физических процессов. Левая часть системы уравнений определяется конкретным видом зависимости от параметров, а правая – конкретными измерениями. Поскольку каждое измерение производится с некоторой точностью, то обычно их проводят с избытком. В результате получается несовместная система линейных уравнений, а задача подбора параметров сводится к построению псевдорешения. Сам способ перехода от задачи решения системы линейных уравнений к нахождению минимума длины невязки называется метод наименьших квадратов. Такое название связано с тем, что 
.
Обозначим через W линейную оболочку столбцов матрицы A. Задача построения псевдорешения эквивалентна задаче определения расстояния от b до W,а точнее к определению проекции b на W. Коэффициенты разложения проекции по столбцам матрицы A являются решениями системы уравнений 
. Тем самым, задача построения псевдорешения свелась к решению системы линейных уравнений.
Если исходная система имела решение, то оно является также псевдорешением. Необходимым и достаточным условием единственности псевдорешения является условие линейной независимости столбцов матрицы A.
Нормальное решение
В ряде случаев, из множества решений, следует выбрать какое то одно. Нормальным решением системы линейных уравнений Ax = b называется решение наименьшей длины.
Задача отыскания нормального решения сводится к задаче определения расстояния от начала координат до линейного многообразия, заданного системой линейных уравнений Ax = b.
Перпендикуляр, опущенный из начала координат на это линейное многообразие, представляется в виде 
линейной комбинации строк матрицы A. Следовательно, задача построения нормального решения сводится к решению системы линейных уравнений 
и вычислению ответа 
.
Нормальное решение всегда единственно, чего нельзя сказать о решении системы . Необходимым и достаточным условием единственности решения указанной системы является условие линейной независимости строк матрицы A.
Нормальное псевдорешение.
Задача построения нормального псевдорешения сводится к решению системы 
и вычисления нормального псевдорешения по формуле .
Унитарное пространство.
Пусть V линейное пространство над полем комплексных чисел. Можно ли обобщить понятие скалярного произведения на такое пространство. Оказывается, да! Для этого достаточно незначительно изменить аксиомы скалярного произведения.
1. 
.
2. 
3. 
при 
.
Черта в свойстве 2 обозначает знак комплексного сопряжения. Пространство над полем комплексных чисел, в котором введено скалярное произведение называется унитарным.
Обозначим через G матрицу Грама базисных векторов, то есть матрицу на пересечении строки i столбца j стоит скалярное произведение i-го и j-го вектора 
. Используя матричные операции умножения, получаем 
. Матрицы Грама в разных базисах связаны формулой 
, где P матрица перехода. Все остальные свойства скалярного произведения полностью сохраняются.
