Сглаживание графика в MathCad

В Маткаде присутствует возможность применить к графику сглаживание, даже если он строился по малому количеству точек. Итог смотрите на рисунке ниже, а ход действий здесь.

Создаете две матрицы, обозначенные gx и gy, каждая с одним столбцом при помощи значка [::] с панели Matrix (для включения панели идите во View-Toolbars->Matrix). Это опорные точки, затем вводите переменную x с шагом 0.1, например. Это надо делать обязательно при помощи панели Matrix, не пытайтесь просто печатать две точки, выдаст ошибку.

Смысл m..n такой - [1-ое значение],[первое значение + шаг]..[последнее значение].

Далее нужно задать вспомогательную функцию - G:=lspline(gx,gy) (Внимание! Первая буква L маленькая, а не i!). Умные слова про эту функцию услышите на матмоде или почитайте в интернете. Итоговым шагом является график, где по оси Y вы вводите interp(G,gx,gy,x). Вот график и стал гладким. По аналогии можете теперь сгладить любой график, построенный по точкам в MathCad.

Как построить график функции

Для того, чтобы построить график функции нужно задать функцию, например y(x):=x². Вводить это нужно прямо с клавиатуры. На поле графика у оси 0y посередине пишете y(x), а по другой оси - x.

Задачи для самостоятельного решения

 

Построить графики функций в средах Mathcad и Excel.
а)у=х² ,у=х²+1,у=(х-2)²

б)у=1/х, у=1/(x-2),y=1/x -2 на одной координатной плоскости.

Построить графики функций в средах Mathcad и Excel.

1.y=(x-2)²-1
2.y=1-√1-x
3.y=√x+4 -2

Построить графики функций в средах Mathcad и Excel.

 

 y = sin (x - π/3).

y = cos x - 3

y = - sin x + 1,5

y = cos (x - 1) – 3

 

Список литературы

http://enmash.info/postroenie-grafikov-v-mathcad.html

http://excelpractic.ru/kak-postroit-grafik-v-excel.html

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6

«Решение содержательных задач из различных областей науки и практики».

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: подготовка к ЕГЭ по математике. Решение содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация, учёт реальных ограничений.

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «подготовка к ЕГЭ по математике. Решение содержательных задач из различных областей науки и практики.», решить задачи.

 3) Формировать умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

Ход работы:

Используя теоретический материал, представленный ниж, выполните задания своего варианта.

   Современный мир неожиданно обнаружил, что математика уверенно расположилась в самых разных его частях и уголках. Сейчас никого не удивишь словосочетаниями "математическая лингвистика", "математическая биология", "математическая экономика" и т.п. — какую дисциплину ни взять, вряд ли кому-нибудь покажется невозможным присоединение к ее наименованию эпитета "математический". Распространение математики вширь сопровождается се проникновением вглубь. Математика занимает сегодня видное место в жизни общества.

Сферу приложения математики мы можем увидеть из схемы:

Математика и физика.

В физике широко распространена показательная функция:

- Барометрическая формула:

        p = p ₀ e ^{– h / H}

 - Движение тела в сопротивляющейся среде:

         V = v ₀ e ^{- kt / m}

  - Радиоактивный распад:

         m (t)= C e ^{– kt} = m ₀ 2^{- t / T}

- Охлаждение тел:

         T = T ₁ - C e ^{- kt}

Задача:

Два тела имеют одинаковую температуру 100^о. Они вынесены на воздух (его температура 0^о). Через 10 минут температура одного тела стала 80^о, а второго 64^о. Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 25^о?

Решение:

Температуры первого и второго тел в момент времени R₁=100е^-k1t, R₂=100e^-k2t,

e^-1Qk1 =8/10, e^-1Q2=64/100, е^-k1= (4/5)^1/10, е^-k2=(64/100)^1/10.

Требуется найти момент времени t, когда R₁(t)-R₂(t)=25. Получаем уравнение:

 100(е^-k1t- е^-k2t)=25, т.е. е^-k1t- е^-k2t=1/4.

(4/5)^t/10 – (64/100)^t/10=1/4;

(4/5)^t/10 – (16/25)^t/10=1/4;

(4/5)^t/10 – (4/5)^2t/10=1/4.

Пусть у =(4/5)^t/10, тогда получаем уравнение:

-у²+ у – 1/4=0.

Решая это уравнение, получаем у=½, т.е (4/5)^t/10=½. Логарифмируя по основанию 10, получим t/10 * lg 0,8 = lg ½, откуда t=10(-lg2)/3*lg2-1=31,06, т.е t=31,06.

Ответ: Через 31,06 минут.

2) Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону m(t) = m₀2^-t/T .В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m0 = 12 мг изотопа натрия-24, период полураспада которого равен Т = 15 ч. В течении скольких часов содержание натрия-24 в веществе будет превосходить 3 мг?

Решение:

Подставим в данную формулу известные данные, получим:

12*2^-t/15>3

2^-t/15>1/4

2^-t/15>2^-2

-t/15>-2

t<30

Ответ: В течение 30 часов.

Математика и химия.

                                                                          

    Из задач по химии школьного курса изучения можно выделить задачи, при решении которых используются логарифмы:

     - равновесные процессы;

     - гидролиз растворов солей;

     - скорость химической реакции изучает раздел кинетика;

     - расчет рН.

     Приведем примеры решения данных типов задач.

1) На сколько градусов надо повысить температуру для ускорения химической реакции в 59000 раз, если скорость реакции растет в геометрической прогрессии со знаменателем, равным 3 при повышении температуры на каждые 10^о?

Решение:

  3^x=59000; lg 3^x = lg 59000; x lg3 =lg 59000;   

  

10° · x =10°·10° = 100°

  Ответ: Надо повысить температуру на 100° для ускорения химической реакции.

2) Реакция при температуре 50°С протекает за 2 мин. 15 сек. За сколько времени закончится эта реакция при температуре 70°С, если в данном температурном интервале температурный коэффициент скорости реакции равен 3?

Решение. При увеличении t с 50° до 70° С скорость реакции в соответствии с правилом Ван-Гоффа возрастает:

 = γ^{(t2 - t1)/10}

Где t₂ = 70° С, t₁=50°C, а υ_t2 и υ_t1– скорости реакции при данных температура.

Получаем:

= 3^(70-50)/10 = 3² = 9

т.е. скорость реакции увеличится в 9 раз.

В соответствии с определением,  реакция обратно пропорциональна t реакции, следовательно

,

где τ – время реакции при температуре t₁ и t₂, следовательно τ _t2 = τ _{t1 *} υ_t1/ υ_t2

Учитывая, что τ _t1= 135 сек., определяем t при 70°С: τ _t2= 135 * 1/9 = 15 сек

Ответ: τ _t2=15 сек.

Математика и биология.

     В биологии так же широко используется показательная функция. Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей и ферментов подчиняются одному закону: N=N₀e^kt. По этому закону возрастает количество клеток гемоглобина в организме человека, который потерял много крови.

     Рассмотрим такие задачи:

1) Численность популяции составляет 5 тыс. особей. За последнее время в силу разных причин (браконьерство, сокращение ареалов обитания) она ежегодно сокращалась на 8%. Через сколько лет (если не будут предприняты меры по спасению данного вида и сохранятся темпы его сокращения) численность животных достигнет предела – 2 тыс. особей, за которым начнётся вымирание этого вида?

Решение: Применим для вычисления времени формулу сложных процентов:  где

2 тыс. – численность животных по истечению искомого времени;

5 тыс. – численность животных в начальный момент времени;

p = 8 - % сокращения численности животных.

Предварительно разделив обе части уравнения на 1000, получим:

 лет.

Ответ: Приблизительно через 11 лет.

2) Рассмотрим задачу об органическом росте в общем виде.

Пусть в начальный момент времени имелось q единиц некоторого компонента. В некоторый другой момент времени t имеющийся компонент изменился в p раз. Установите, через какой промежуток времени (начиная с начального момента) этот компонент достигнет заданного количества B единиц.

Решение: Для того чтобы это сделать, сначала напомним, что процессы, у которых происходит быстрый рост или быстрое затухание, описываются показательной функцией вида .

В нашем случае будем считать, что начальный момент времени соответствует нулю, тогда , и значит, , т.е. функция, описывающая этот процесс, имеет вид . В следующий момент времени t у нас произошли изменения, описываемые уравнением , т.е. , откуда

 Таким образом, по данным условия мы получаем функцию . И теперь ясно, что мы ищем x, при котором , т.е. надо решить уравнение Выполняя логарифмирование уравнения  по основанию 10, получим

                 

                     

Ответ:

Математика и экономика.

1) Заглянем в кабинет экономиста одного из торговых предприятий. Перед которым возникла проблема – в каком соотношении закупить товары А и В. Можно закупить 8 единиц товара А и 5 единиц товара В. Торговое предприятие остановилось на первом варианте, т.к. при этом экономится сумма, достаточная для закупки 2-х единиц товара А. Какова цена товара А и товара В? Математика, выручай!

Пусть стоимость единиц товара А – х рублей, единиц товара В – у рублей. Тогда мы получим систему уравнений:

5х+8у=92;

8х+5у=92+2х; 

Решив которую, получим, что стоимость одной единицы товара А-12 тысяч рублей, а цена одной единицы товара В-4 тысячи рублей.

 2) Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли, которых в минувшем году составила 13 млн. рублей. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 75%, а второго - на 140%. В результате, суммарная прибыль фирмы должна вырасти в 2 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений:

1)в минувшем году?

2)в текущем году?

Решение: Обозначим через х млн.рублей прибыль первого отдела и через у млн.рублей прибыль второго отдела в минувшем году. Тогда по условию задачи составим и решим систему уравнений с двумя переменными:

х+у=13;

1,75х+2,4у=26.

Решив которую, получим, что:

1)прибыль в минувшем году у первого отделения 8 млн.рублей, у второго-5 млн.рублей.

2)Прибыль в этом году у первого отделения 14 млн.рублей, у второго-12 млн.рублей.

3) А теперь заглянем в кабинет экономиста некоторой фирмы, которая производит детские велосипеды. Экономисты рассчитывают, сколько велосипедов в день надо производить по цене х рублей, чтобы прибыль была максимальной. И в этот раз нам не обойтись без математики…

Решение: Изначально надо установить зависимость между ценой х руб. одного велосипеда и количеством у единиц товара, приобретаемого за один день. Математическими методами было определено, что данная зависимость задана формулой у=570-3х. (1) Выясним, какую цену на товар установит фирма для того, чтобы прибыль от его реализации была наибольшей. Прибыль р находится по формуле р=ху. Согласно (1), р=х(570-3х), или р=-3х2+570х. Таким образом получается, что функция р=-3х2+570х является квадратичной. Функция будет достигать своего наибольшего значения при х=-570/(-3)*2=95.

      Это наибольшее значение равно р=27075. Получается, что наибольшая выручка в 27075 рублей будет достигаться в том случае, если фирма реализует по цене 95 р. у=570-3*95=285 единиц товара.