Простейшие тригонометрические неравенства

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида:

Тригонометрические неравенства могут быть решены по следующему общему правилу:

1. Найти область допустимых значений неизвестной (ОДЗ).

2. Записать соответствующее уравнение, заменив знак неравенства знаком равенства.

3. Решить уравнение, полученное в предыдущем пункте.

4. На числовой оси отметить ОДЗ, корнями уравнения разбить ОДЗ на промежутки.

5. На каждом интервале выбрать одну пробную точку и подставить ее в исходное неравенство. Если неравенство выполняется, то данный интервал необходимо включить в ответ. Если неравенство не выполняется, то интервал следует исключить из рассмотрения.

1. Сделать отбор характерных для неравенства точек – корней уравнения и концов промежутков ОДЗ. Если исходное неравенство нестрогое, то корни уравнения следует записать в ответ, в противном случае – отбросить. Концы промежутков ОДЗ проверить подстановкой в исходное неравенство. Подходящие из них включить в ответ.

Пример. Решить неравенство .

Решение. Нарисуем единичную окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит 0.5 (жирная синяя линия).

Решим данное неравенство на промежутке длины равной наименьшему периоду функции y= . Для  решением неравенства будут . Следовательно, все решения неравенства запишутся в виде

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно использовать линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1, соответственно, касающиеся единичной окружности.

Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол α с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки (1;0) до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса

Пример. Решите неравенство

Решение. Сделаем замену . Неравенство примет вид . Решим полученное неравенство на промежутке длины равной наименьшему периоду функции y= , а именно на промежутке . С помощью линии тангенсов устанавливаем

Следовательно, решение неравенства  можно записать в виде . Возвращаясь к переменной x, получаем

.

Ответ: .

Упражнения для самостоятельной работы.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) .

8)  Решите уравнения

9) ,

10) .

,

11) ,

Решите тригонометрические неравенства

12) ,

13) ,

14) ,

15) .

Список литературы

1.Пехлецкий И. Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2013.

2.Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. - М.: Академия, 2014.

3.Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, СПО. - М.: Академия, 2014.

4.Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. - М.: Наука, 2014.

5.Подольский В. А., Суходский А.М. Сборник задач по высшей математике. - М.: Высшая школа, 194.

6.Башмаков М.И. Математика, 10 кл. - М.: Академия, 2013.

7.Башмаков М.И. Математика, 11 кл. - М.: Академия, 2013.

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4

 «Функции, их свойства и графики»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Функции, свойства и графики».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Функции, свойства и графики», решить задачи.

 3) Формировать умение самоконтроля, рассудительность, терпение, самостоятельность.

Теоретический материал

График линейной функции

Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Пример 1

Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если , то

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если , то

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

При оформлении чертежа всегда подписываем графики.

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции: