Рациональные числа (теоретико-множественный подход)

Рассмотрим сначала теоретико-множественный подход к положительным рациональным числам.

Задача разбиения конечного множества на определённое число равномощных непересекающихся подмножеств не всегда разрешима. Например, множество содержит 7 элементов, а требуется его разбить на 5 равномощных непересекающихся подмножеств. Ясно, что 7 не делится на 5. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие множества, каждый элемент которого допускает разбиение на равные части. В приведенном примере каждый элемент разобьем на 5 равных частей и получим 7 · 5 = 35 равных частей. После этого нетрудно выполнить заданное деление.

Заметим, что природа элементов, допускающих подобное разбиение, для арифметики безразлична. Каждый элемент множества будем называть единицей, а каждую из равных частей единицы – долей.

Пусть дано некоторое множество А, каждый элемент которого состоит из п одинаковых долей, тогда его можно охарактеризовать двумя числами: а числом «n -ных» долей (у нас а = 35) и n (у нас n = 5). Полученная пара чисел определяет понятие обыкновенной дроби.

Определение. Обыкновенной дробью или дробным числом называется пара натуральных чисел (а, п), характеризующая множество А одинаковых долей единицы; первое из них а показывает, сколько «n -ных» долей содержит А и называется числителем дроби, второе – п – на сколько одинаковых долей разделена единица и называется знаменателем дроби.

Общепринята запись в виде , здесь а Î N ₀, n Î N (в случае арифметической дроби считают а, n Î Z, n ≠ 0 ).

При этом полагают, что при любом n выражает 0 (пустое множество долей), а дробь выражает натуральное число, т.е. считают, что «первые» доли элементов представляют собой не что иное, как сами элементы.

После введения понятия обыкновенной дроби задача деления для натуральных чисел становится разрешимой во всех случаях без исключения. Коротко эта операция записывается так:

а: n = : n = ; т.е. а: n = .

Итак, частное от деления любого натурального числа на любое натуральное число есть дробь.

Числа, которые можно представить (записать) в виде обыкновенных дробей, называются положительными рациональными числами.

Найдём теперь частное: в = ак: nк = (ак: к): n = а: n = .

С одной стороны в = , где к Î N, с другой – получили в = .

Итак, (" к Î N) = , такие дроби называются равными (эквивалентными) дробями.

Перейдём теперь к рассмотрению арифметических действий над дробями.

Определение. Суммой дробей с одним и тем же знаменателем, называется дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен сумме числителей этих дробей:

То есть, если в множестве А ₁ содержится а ₁ «n -ных» долей, а в множестве А ₂ – а ₂ «n -ных» долей, то содержит (а ₁ + а ₂) «n -ных» долей.

В частности, .

Определение. Разность двух дробей определяется так:

, где а ₁ ³ а ₂.

Замечание. Поскольку любая дробь может быть заменена равной ей дробью, то для дробей с разными знаменателями данное определение выглядит так: .

(а ₁– а ₂) – это характеристика множества А ₁\ А ₂ «n -ных» долей.

Перейдем к определению умножения и деления дробей.

Рассмотрим сначала умножение и деление дроби на число.

Пусть в Î N, тогда

То есть, если каждое из множеств А ₁, А ₂, …, А_в состоит из а «n -ных» долей, то А ₁ А ₂ … А_в состоит из ав «n -ных» долей.

Итак, . По коммутативности умножения .

Рассмотрим теперь : в = : в = .

Здесь а · в «nв -ных» долей разделили на в.

Перейдём к рассмотрению умножения и деления дробей.

Напомним, что умножением в Î N на дробь называется совокупность двух последовательных операций: деления на знаменатель дроби и умножения на её числитель, т.е. = (в: n) · a.

Умножим теперь дробь на дробь . Сперва находим : n = , т.е. «n -ную» долю от , а затем произведение · в = , т.е. в таких «n -ных» долей от .

Таким образом, произведение двух произвольных дробей и , есть дробь , т.е. · = .

Найдём частное от деления на , где а, в, к, n Î N.

Пусть = : , т.е. × = или = – это равенство после почленного умножения на к и деления на в приводит к равенству:

= или = , т.е. : = .

Напомним, что «инвариант» латинское слово, которое переводится как неизменное, общее свойство.

Определив натуральное число как инвариант класса равномощных конечных множеств, а целое число как инвариант класса равномощных изменений численности конечных множеств, можно определить дробь как инвариант класса равномощных конечных множеств одинаковых долей любых элементов.

Перейдем теперь от множества положительных рациональных чисел к множеству рациональных чисел.

Определение. Отрицательным рациональным числом – , где а и п – произвольные натуральные числа, называется число, характеризующее уменьшение любого множества «n -ных» долей элементов на а этих долей, т.е. замену множества, содержащего с «n -ных» долей, множеством, содержащим (с – а) таких долей.

После введения рациональных чисел обыкновенные дроби получают новое название – рациональные положительные числа и новое обозначение , + , . При п = 1 рациональные числа и представляют собой не что иное как целые числа +а и – а, а потому множество всех рациональных чисел, получаемое объединением всех рациональных положительных чисел, рациональных отрицательных чисел и числа 0, содержит в себе множество натуральных чисел N.