Признаки делимости на 2 и 5.

Число тогда и только тогда делится на 2, когда оно оканчивается четной цифрой.

Число тогда и только тогда делится на 5, когда оно оканчивается цифрой 0 или цифрой 5.

Доказательство. Любое число S в десятичной системе счисления представимо в виде:

S = а_n ·10 ⁿ + а_{n -1} · 10 ^{n -1}+... + а ₁ · 10 + а₀.

Очевидно, все слагаемые, кроме последнего, делятся на 2 и на 5, ведь 10   2 и  0 5.

Что можно сказать о числе S? Делится ли оно на 2 и на 5? Все зависит от а ₀ (от последней цифры). a ₀ 2 Þ S 2, а ₀ 5 Þ S 5(свойство о делимости суммы на число). Обратно, S   2 Þ а ₀   2,       S   5 Þ а ₀ 5(свойство о делимости разности на число).

Значит, S 2 Û а ₀ 2; S 5 Û а ₀  5.

Все а_i – цифры, 0 ≤ а_i £ 9. То есть на 2 будут делиться числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8, а на 5 числа, оканчивающиеся на 0, 5. И только такие числа.

Признаки делимости на 2 и 5 не случайно одинаковы. 2 и 5 – это делители числа 10 – основания десятичной системы счисления.

Признаки делимости на 4 и 25.

Число тогда и только тогда делится на 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4.

Число тогда и только тогда делится на 25, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 25, т.е. 00, 25, 50, 75.

Доказательство. Заметим, что числа 4 и 25 делители числа 100. Пусть S любое натуральное число, в десятичной системе счисления его можно представить так:

S = а_п · 10 ⁿ + а_{n- 1} · 10 ^{n -1} +... + а ₂ × 10² + а ₁ · 10 + а ₀.

Все слагаемые, кроме последних двух, содержат множителем число 100, а потому они делятся на 4 и 25.

Делится ли S на 4 и на 25 зависит от суммы слагаемых а ₁ · 10 + а ₀,т.е. от числа, образованного последними двумя цифрами. Для того, чтобы S делилось на 4, достаточно чтобы а ₁ · 10+ а ₀делилось на 4. Обратное утверждение тоже верно.

Для того, чтобы S делилось на 25, достаточно чтобы а ₁ · 10 + а ₀делилось на 25, т.е. чтобы S оканчивалось на 00, 25, 50, 75. Обратное утверждение тоже верно.

Значит, S   4 Û (а ₁ · 10 + а ₀)   4;  S 25 Û (а ₁ · 10 + а ₀)   25.

Выведем теперь признаки делимости на 3 и 9.

Число тогда и только тогда делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3.

Число тогда и только тогда делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9.

Доказательство. Пусть S – любое натуральное число. Представим его так:

S = a_n · 10 ⁿ + a_{n -1}· 10 ^{n- 1} + … + a₁ · 10 + a₀, где a_n, a_{n -1}, …, a ₁, a ₀ – цифры.

Перепишем число S так:

Очевидно, что число, записанное одними девятками, делится на 9. Т.е. все слагаемые, кроме последнего т = а_n + а_{n -1}+... + а₂ + а₁ + а₀, делятся на 9 (по делимости суммы на число). Если т   9, то S   9.

Обратно, из S 9 Þ m 9(по делимости разности на число).

Значит, S 9 Û (а_n + а_{n -1}+... + а ₂+ а ₁ + а ₀) 9.

Признак делимости на 3 доказывается точно также, ибо любое число, записанное одними девятками, делится на 3.

Признаки делимости на 3 и 9 одинаковы не случайно, 3 и 9 – делители числа 10 – 1, т.е. числа на 1 меньшего основания десятичной системы счисления. Заметим, что признак делимости на 3 и 9 зависит от суммы цифр числа.