Есептердің қойылымы және есептеу әдістері бойынша жалпы мәлімет.

Интегралды қисықтың іздеу есебі

Y = F(t), (9.2)

осындай болғанда F' º f(t,Y), алғашқы жағдайда: t = t₀ болғанда Y = Y₀ Коши есебі деп аталады. (ҚДТ жоғарғы бірінші ретті жаңа ауыспалы қойылымы ҚДТ түріне (9.1) әкелу мүмкін. ҚДТ редукция реті деп аталады).

Шығару әдістері (9.1) бөлінеді:

a) графикалық;

b) аналитикалық (нақты және жуықталған);

c) сандық.

Графикалық әдістер. Бұл әдістерді геометриялық құрылым қолданады және жуықтап шешуді береді. Мында олардың егжей-тегжейлері қарастырылмаған.ҚДТ (9.1) түріндегі графикалық шешуге изоклин әдісі қолданылатынын атап өтейік. Оның изоклинмен анықталған (геометриялық туынды мағынасына сәйкес белгілі f(t,Y) функциясы беретін түзу еңісінің сызығы) бағыттау өрісі құрылады және сол бойынша интегралды қисықтар жуықтап сызбаланады.

Аналитикалық әдістері. Аналитикалық шығару кезінде (9.2) функционалдының тәуелсіздігі үшін жабық тұлғалау түріндегі (9.1) қанағаттандыратын формуланы алуға тырысады, немесе, мысалы, шексіз қатар түрінде. Осындай қатардың кейбір сандық мүшесін жарамсыз деп тастау аналитикалық шығаруды жуықтап береді. Аналитикалық шығарудың жетістігі нақтылығының жоғарлығы, әрбір таңдалынған аргумент мәндері және басқада алғашқы жағдайлары үшін функция мәнінің қарапайым есептеу мүмкіндігі болып табылады.

Нақты жекеше шешудің іздеу әдістерінің біреуі Лаплас туындысының ҚДТ интегралын қолданады. ҚДТ нәтижесінде Лаплас (көмекші немесе теңдеуді кескіндейтін) бойынша кескінде алгебралық теңдеу туындайды. Ізделінді функцияның кескіні салыстырмалы түрде шешіледі, кері туынды көмегімен оның тұпнұсқасын табуға болады

Сандық әдістер. Аналитикалық шығарудың негізгі проблемалардың бірі болып f(t,Y) функциясын интегралдау мүмкін еместігі болады. Басқа сөзбен айтқанда, элементарлық немесе белгілі арнайы математиклық функциялар көмегімен интегралдау қисығы бейнеленбейді. Осы жағдайда шешімнің сандық әдістер қолданады. Сандық әдістерде ізделінді шешімі t _n аргуметінің берілген мәндері үшін Y = F(t) функциясының кестедегі жуықтап алынған y_n мәні түрінде алынады.

t₀ = a, t₁, t₂,…, t_n, t_n+1,…, t_N = b аргументінің мәні түйін немесе тор түрінде беріледі. h_n = t_n+1 – t_n торының қадамы (интегралдау қадамы) тұрақты (h_n = h = const, бір қалыпты тор) немесе айнымалы (бір қалыпты емес тор) болу мүмкін. Әрбір n түйінінің торы үшін y_n саны ізделінеді, аппроксимациялайтын нақты шешуі Y(t_n). Шешімдері кесте түрінде болады (x _n, y_n).ъ

Сандық әдістер бір қадамды болы п бөлінеді, y_n+1 есептеуі үшін алдыңдағы бір n қадамының және көп қадамның нәтижесі қолданылады, көрсетілген есептеу үшін бірнеше алдыңғы қадамның нәтижелері қолданылады. Сандық әдістер кейбір алгоритмдер көмегімен іске асырылады,оларды көбінесе шешкіштер деп атайды. Әдістердің (шешкiштердің) маңызды мінездемелері қиындық (керек операциялардың саны) және қателіктер болып табылады. Әдістің жергілікті қателігін Y(t _n) – y(t _n) айырыммен мінездеуге болады.

ҚДТ шешімінің сандық әдістерін іске асыру проблемалардың бірі моделдейтін жүйенің қаттылығымен байланысты рационалды таңдау қадамы болып табылады. Егер интегралды қисықтың байсалды өзгерiстеріне байланысты соңғы қарқынды өзгерiстердiң (тербелiстер) бөлiмшелерi бар болса, онда жүйе қатты деп аталады. Осы жағдайда интегралдаудың үлкен қадамы ізделінді функцияның жылдам өзгерістеріне рұқсатнамасына алып келеді, ал кішісі – есептеулер қиындығының маңызды үлкеюiне алып келеді. Бұл мәселенiң ұтымды шешiмi интегралды қисықтың есептелетiн мәндерiне байланысты көршi қадамдарға интегралдауды адапттивтi қадамның қолдануы болып табылады.

Есептiң шешiмiнің ортақ жолы Тейлор қатарларының қолдануында жеткiлiктi болады.

h қадамын –тұрақты деп қоямыз. y(t)-ні t_n нүктесіндегі Тейлор қатарына жіктейміз:

y(t_n+1) = y(t_n) + h y’(t_n) + h² y’’(t_n) /2! + h³ y’’’(t_n) /3! + h⁴ y^1V (t_n) /4! … (9.3)

n=0 деп, (9.3) белгілі y(t₀) –ні және бастапқы шарттардағы y’(t₀)-ні және (9.1) теңдеуінің өзін аламыз. Басқа кіретін туындыларды формула бойынша есептеуге болады (жазуларды қысқырту үшін f функциясының аргументтері түсірілген, ал туындылар астыңғы индекстермен белгіленген):

y’= f;

y’’ = f_t + f_yf;

y’’’ = f_tt +2f_ty + f_yyf² + f_y(f_t + f_yf); және т.б.

(9.3) қатарларын N мүшеге дейін қысқарта отырып, келтірілген формулалардың керекті туындыларын және y(t₁) = y₁ есептеуге болады. Содан соң келтірілген схемамен y₂ және т.б. есептеуге болады. Осы әдіс Тейлор әдісі деген атауды алды. N жеткілікті үлкен болғанда әдістің дәлдігі жоғары болады. Қате h^N+1 қатарының шамасымен бағаланады, дегенмен әдіс үлкен қиындықпен ерекшелінеді.

Бақылау сұрақтары:

1. Сандық интегралдау есебін сипаттаңыз?

2. ҚДТ қатарының редукциясы не деп аталады?

3. Сандық интегралдау есептерiнiң шешiмiнiң әдiстерiн атаңыз?

4. Лапластың интегралды өрнектеуi не үшін қолданылады?