Дәріс 9. Тақырыбы: Сандық дифференциалдау. Дифференциалдану әдістері.

Дәріс жоспары:

1. Сандық дифференциалдау.

2. Дифференциалдану әдістері.

Дәрісн тезисі

Сандық дифференциалдау. Тәжірибелік тапсырмалар барысында кестелік берілген у (х) функциясы көрсетілген қатарынан туындыны табу. Немесе функция аналитикалық берілген, бірақ қиын мағынаға ие, және тура дифференциация қиындайды.Мұндай жағдайда сандық дифференциалдау көмегімен жақын дифференциацияға келеді.

Дифференциалдаудың негізгі әдістері:

1) соңғы айырмашылықтарды қолдану;

2) интерполяциондық формула негізінде дифференцирлеу.

Соңғы айырмашылық әдісі әрекетке соңғы айырмашылық қатысымен іске асады. Мысалы, y = ax2 + bx + c функциясы үшін бірінші соңғы айырмашылық тең (5.1. мысалын қараңыз) Dy = 2ahx + ah2 + bh.

Оның һ әрекетіне қатынасы Dy/h = 2ax + ah + b. Бірінші туындының нақты мағынасын dy/dx = 2ax + b формуласы арқылы есептеуге болады. Алдыңғы формула соңғысынан тек һ аз қадамын аз мәнге келтіре алатын аһ қосылғышы арқылы ғана ерекшеленеді.

Туындыны есептеудің қателігін азайтуды мына формуланы қолдану арқылы есептеуге болады:

yk’ = (yk+1 – yk-1) / 2h; (7.1)

yk’’ = (yk+1 –2yk + yk-1) / h2. (7.2)

Екінші әдіс мәні дифференциацияланатын у (х) функциясын [a,b] интерполяциялатйтын функциясымен (полиноммен) Pn(x) ауыстыру және мүмкіндігі

y'(x) = P’(x); a £ x £ b.

Интерполяциялайтын туынды функциясының қателігі бұл туынды функциясының қателігіне тең. Жақындаған дифференцирлеу – интерполяциялауға қарағанда операция дәлдеу, y(x) және P(x) жақындығы олардың туындыларының жақындығын білдірмейді.

 

Бақылау сұрақтары:

1. Қандай жағдайларда сандық дифференцирлеу тапсырмасы туындайды?

2. Дифференцирлеудің негізгі әдістерін атаңыз.

Д10. Сандық интегралдау. Есептер қойылымы.

Арапайым квадратуралық формулалар.

Дәріс жоспары:

· Сандық интегралдау. Есептер қойылымы.

· Қарапайым квадратуралық формулалар.

Дәріс тезисі

a,b ақырғы шектерінде көрсетілген y = f(x) бір айнымалы үздіксіз функциясы арқылы берілген бірінші ретті анықталған интегралды есептеу тапсырмасын қарастырамыз:

In = .

Ньютона-Лейбниц бойынша формуланың интегралы

In = F(b) – F(a),

мында F(x) – туынды функция (F’(x) = f(x)).

Осыған ұқсас есептеу кезінде мынадай қиындықтарды туғызу мүмкін.

1. Бастапқы үлгідегі функция элементарлық функция көмегімен табылу мүмкін емес немесе өте қиын болып табылады. Негізінде, ол кейбір арнаулы функциямен ұсынылу мүмкін, ал осындай функцияның кестесі қолда жоқ.

2. Интегралданған функция кестемен берілген, және бастапқы үлгідегі функцияның ұғымы мәнін жоғалтады.

Осындай жағдайларда сандық әдістердің жуықтап есептеу интегралын қолданып, оның мәнін интегралданған функцияның мәні бойынша таңдалынған нүктенің ақырғы санын есептегенде қолдануға болады. n нүктесіндегі [а,b] кесіндісіндегі n нүктесінің x0 = a, x1, x2, …, xn = b таңдап аламыз және сәйкесінше y0, y1, …, yn (yk = f(xk), k = 0..n мәндері енгізілген) функциясының мәнін есептейміз. Егер функция кестеде берілген болса, онда осы мәліметтер алдын ала бар болады. Осы сандық мәлімет бойынша интегралды есептеу қажет.

Қарапайым квадратуралық формулалар

 

Сурет 8.1. Анықталған интегралды есептеу схемасы

 

Геометриялық анықталған интеграл сандық түрде интегралданған қисығы және х осінде а-дан b- ға дейінгі аралығы шектелген фигураның ауданына тең екені белгілі. Осы ауданның элементін 0c = xk-ден 0d = xk+1-ге дейінгі аралықта бөліп аламыз (8.1.сур.).

Cefd қисықсызық трапециясының ауданын суретте көрсетілген кез келген тіктөртбұрыштың біреуінің ауданымен жуықтап анықтауға болады, яғни олар: cend, cgfd немесе chmd. Олардың біріншісінің биіктігі yk (сол жақтағы үшбұрыш) сол жақ ординатасына, екіншісі- yk+1 (оң жақтағы үшбұрыш) оң жақ ординатасына, ал үшіншісі- функция мәнінің hk = xk+1 – xk (ортасындағы үшбұрыш) интервалының ортасына тең болады. a–b кесіндісін бірдей n бөліктерге бөліп (hk = const), көрсетілген үлгінің біреуінің үшбұрыштық жүйесін құрып және олардың ауданын қосып, интегралдың жуықталған мәнін аламыз.

Үшбұрыштың орнына трапецияны (cefd 8.1. сур.) қолдауға болады. Симпсон әдісінде yk, yk+1, yk+2 ординаталармен үш нүктеден өтетін парабола ауданы тізімделген элементтердің әрбір тізбектелген жұбы y = f(x) берілген қисығында алмастыру қолданылады. n интервалындағы бөлулер саны жұп болу керек.