Ақырлы айырымдарды есептеу

Кестемен берілген y = f(x) функциясының әрекетін көрші нүктелердегі оның мәнінің айырымдарын, кейін осы айырымдардың айырымын есептей отыра, бағалауға болады. Dх = h = x_i+1 – x_i = const, (i = 0, 1,.. n) қадамы бар бірдей қашықтықтағы нүктелердің дискретті n+1 жиынында кестелі түрде берілген бір айнымалылы функцияны қарастырайық. Бұл функцияның бірінші ақырлы айырымы келесідей болады:

Dy = Df(x) = f(x+h) – f(x). (5.1)

D символын (5.1) қатынасымен анықталатын Dy функциясын y = f(x) функциясымен сәйкес қоятын айырымды оператор ретінде қарастыруға болады. Бұл оператор сызықтық қасиетіне ие, яғни

D(u +v) = Du + Dv,

D (cu) = c D(u),

мұнда u, v –х функциисы, с – тұрақты.

Интерполяциялық формулалар. Интерполяцияның тең аралықты түйіндері кезінде (h = const)

Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласы (алға қарай интерполяциялау):

P_n (x) = y₀ + (Dy₀/1! h) (x – x ₀)+(D²y₀/2! h²) (x – x₀) (x – x₁)+..

..+(Dⁿ y₀/ n! hⁿ )(x – x_o)(x – x₁)...(x – x _{n – 1}); (5.4)

Ньютонның 2-ші интерполяциялық формуласы (артқа қарай интерполяциялау):

P_n (x) = y_n + (Dy_n-1/1! h)(x – x _n) + (D²y_n-2/2! h²)(x – x _n-1) +..

..+ (Dⁿy₀/n! hⁿ)(x – x _n)...(x – x₁). (5.5)

Интерполяцияның кез келген түйіндері кезінде

Лагранждің интерполяциялық формуласы:

P_n(x) = L₀(x)f₀ + L₁(x)f₁ +...+ L_n(x)f_n , (5.6)

мұнда f _i = f (x_i) және

L_i(x)= (5.7)

 

Интерполяциялық формулалардың дербес жағдайлары

Интерполяция түйіндері аз болған кезде келтірілген формулалар біраз қысқарады.

n = 1 болған кезде (интерполяцияның екі түйіні) Ньютонның алғашқы формуласы сызықтық интерполяциялау формуласын береді

P₁(x) = y₀+qDy₀, (5.8)

Ал n = 2 болған кезде параболалық немесе квадраттық интерполяциялау формуласын аламыз:

P₂(x) = y₀+qDy₀ + D² y₀, (5.9)

мұнда q = (x – x₀)/h.

Ұқсас шарттар кезінде Лагранждің интерполяциялық формулалары a және b абциссалары бар екі берілген нүкте арқылы өтетін сызықтық теңдеу мен a, b және c абциссалары бар үш берілген нүкте арқылы өтетін парабола теңдеуінен тұрады.

Интерполяциялық формулалардың қателіктері

Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласындағы абсолбтті қателігінің жуықталған бағасы

f(x) – Pn(x)ï = D ^{n + 1} y₀, (5.10)

мұнда q = (x – x₀)/h.

Лагранждың интерполяциялық формуласындағы абсолюттік қателік келесі түрде болады:

ïf(x) – Pn(x)ï £ (x – x₀)(x – x₁)...(x – x _n), (5.11)

мұнда M n+1 = ïmaxf ^{(n + 1)} (x)ï, a £ x £b.

Сплайн-интерполяциясы. Интерполяцияның көп түйіндері болған кезде қарастырылған Ньютон мен Лагранж полиномдары үлкен дәрежеге ие болады және қатты «тербеледі», әсіресе қарастырылған интервалдың шеткі жақтарында. Бұл туындыларды есептеу түйіндер арасындағы интерполяцияның дәлдігінің төмендеуіне әкеп соғады. Бұл қиындықтан шығудың жолы бөліктік интерполяция немесе сплайн-интерполяция (сплайндармен интерполяция).

Бөліктік интерполяцияның мәні мынада: барлық түйіндерді аз түйіні бар тізбекті топтарға бөліп, әр топқа жоғарыдағы сипатталған формулаларды келтіру керек. Бұл полиномдар дәрежесін төмендетеді, бірақ жалпы жағдайда топ шеттеріндегі интерполяциялайтын функция туындыларының бөлінуіне әкеп соғады.

Сплайн-интерполяция. i-1 және i көрші түйіндер арасындағы әр бөлікте интерполяциялық функция шағын k (k -сплайн) дәрежелі полином түрінде болады. k = 1 жағдайында интерполяциялайтын функция түйіндерді біріктіретін сынық сызық түрінде болады. Ең көп қолданысқа k = 3 (кубтық сплайндар) жағдайы ие.

Егер жұқа, иілгіш металдық сызғышты интерполяцияның екі көрші түйініне орналастырып, оған түйіндерде анықталған иілу бұрышын берсе, онда үшінші дәрежелі полиноммен сипатталатын және потенциалдық энергияның минимумына сәйкес келетін нақты форманы алады.

і-ші (i = 1..n) түйін үшін осындай полиномды келесі түрде жазуға болады:

S_i(x) = a_i + b_i(x – x_i-1) + c_i (x – x_i-1)²+ d_i (x – x_i-1)³ (5.12)

Полином коэффициенттерін барлық п бөлікте есептеу үшін 4п теңдеу болу қажет. Олардың 2п теңдеуін y_i-1 және y_i түйін нүктелері арқылы S_i(x) өту шартынан аламыз:

S_i(x_i-1) = a_i = y_i-1;

S_i(x_i) = a_i + b_i h_i + c_i h_i² + d_i h_i³ = y_i; (5.13)

мұнда h_i = x_i – x_i-1, i = 1..n.

Қосымша теңдеулерді интерполяция түйіндеріндегі S_i(x) туындыларына шектеу қоя отырып алуға болады. Егер интерполяция түйіндеріндегі бірінші мен екінші туынды үздіксіз болу керек деп алсақ, онда қосымша 2n – 2 теңдеуді аламыз:

S'_i(x) = b_i + 2c_i(x – x_i-1) + 3d_i(x – x_i-1)²;

S''_i(x) = 2c_i + 6d_i(x – x_i-1);

S'_i(x_i) = S'_i+1(x_i);

S''_i(x_i) = S''_i+1(x_i).

Осыдан: b_i+1 = b_i + 2c_i h_i + 3d_i h_i²;

c_i+1 = c_i +3d_i h_i. (5.14)

Жетпейтін қатынастарды сплайн шеттерін бекіту шарттарынан аламыз. Мысалы, шеттерді бос бекіту кезінде жоғарыда айтылған сызғыштың шеттеріндегі қисықтық нөлге тең деп, яғни нөлдік екінші туындыға сәйкес келеді деп болжауымызға болады: S''(x_i-1) = 0;S''(x_i)=0.

Осыдан

c_i = 0;

2c_i + 6d_i h_i = 0. (5.15)

Алынған қатынастар (5.13)–(5.15) полиномның (5.12) анықталған ізделінді коэффициенттері үшін САТЖ-ді ұсынады.

 

Бақылау сұрақтары:

1. Функцияны интерполяциялау есебінің практикалық тағайындауы неден тұрады?

2. Қандай функция интерполяциялайтын деп аталады?

3. Ақырлы айырымдарға түсінік беріңіз.

4. Қандай интерполяциялық формулалар тең қашықтықты түйіндер кезінде қолданылады?

5. Қандай интерполяциялық формулалар кез келген түйіндер кезінде қолданылады?

6. Сплайндармен интерполяция неден тұрады?