Жаттығуға берілген есептер.

1. А,В ̶ лар нүктенің суретте көрсетілген дөңгелектерге түсуі оқиғалары.

АВ-ны штрихтаңыз.

2. Жәшікте 8 ақ, 12 қызыл шар бар. Тандамай алты шар алынған. Кемінде біреуінің ақ шар болу ықтималдығын табыңыз.

Жауабы:0.8

3. Жәшікте 8 ақ,12 қызыл шар бар.Тандамай алты шар бар алынған. Бірден көп емес ақ шар болу ықтималдығын табыңыз.

Жауабы:0.187

4. Жәшікте 8 ақ,12 қызыл шар бар.Тандамай екі шар алынған.Алынған шарлардың бір түсті болу ықтималдығын табыңыз.

Жауабы:0.494

5. Жәшікте 8 қызыл,10 жасыл,12 көк шар бар.Тандамай үш шар алынған. Кемінде екеуі бір түсті болу ықтималдығың табыңыз.

Жауабы:1-(8·10·12·6)/(30·29·28)=0.763

6. 12 жұмысшы 4 демалыс үйіне жолдама алды.Олардың үшеуі-бірінші демалыс үйіне,үшеуі-екінші демалыс үйіне, екеуі-үшінші, ал төртеуі-төртінші демалыс үйіне жолдама алды. Белгілі бір үш жұмысшының бір демалыс үйіне бару ықтималдығы қандай.

Жауабы:0.0273

7. Топта 25 студент бар, оның жетеуі үздік оқиды.Тізім бойынша қалай болса солай 4 студент таңдап алынған.Осы алынған 4 студенттің ең болмағанда біреуі үздік оқушы болу ықтималдығы қандай?

Жауабы:0.758

8. 36 картадан тұратын жиыннан калай болса солай 3 карта алынған. Алынған карталардың екеуі тұз болу ықтималдығы кандай?

Жауабы:0.0269

9. Бір партияда 10 бұйым бар, оның сегізі үлгілі.Тандамай алынған 2 бұйымның кемінде біреуі үлгілі болу ықтималдығые табыңыз?

Жауабы:44/45

10. Нысанаға үш рет оқ атылды. Екіден кем емесі тиюі ықтималдығын табыңыз?

Жауабы:3/4

11.Тиынды 3 рет лақтырғанда елтаңба жағының 2 рет түсу ықтималдығын табыңыз.

12.Ойын сүйегін лақтырғанда үшке еселі ұпай саны түсу ықтималдығын табыңыз.

13. Тиынды 5 рет лақтырғанда елтаңба жағының 3 рет түсу ықтималдығын табыңыз.

 

 

14. Тиынды 5 рет лақтырғанда елтаңба жағының 2 реттен кем түсу ықтималдығын табыңыз.

15. Ойын сүйегін лақтырғанда екіге еселі ұпай саны түсу ықтималдығын табыңыз.

16. Ойын сүйегін лақтырғанда төртке еселі ұпай саны түсу ықтималдығын табыңыз.

17. Әрбір атыста нысанаға тигізу ықтималдығы 0,7-ге тең. 100 рет атқанда нысанаға 40 рет тигізудің ықтималдығы қандай?

18. Әрбір атыста нысанаға тигізу ықтималдығы 0,7-ге тең. 300 рет атқанда нысанаға 240 рет тигізудің ықтималдығы қандай?

19. 36 картадан тұратын колодадан бір карта алынды. Алынған картаның қарға болу ықтимаядығы қанша?

20. Кез келген екі танбалы санның 5 санына бөлінетіндігінің ыктималдығы қанша?

21. Екі ойын сүйегі лақтырылды. Нөмірінің қосындысы жай сан болу ықтималдығын анықтаңыздар.

22. Колодада 36 карта олардан кез келген 3 карта алынды. Алынған карталардың екеуінің тұз болу ықтималдығын анықтаңыздар.

23. Кәсіпорыннан шығатын бұйымның орта есеппен 21%-ы жоғары сортқа, 70%-ы бірінші сортқа жатады. Таңдамай алынған бір бұйымның бірінші немесе жоғары сортқа жату ықтималдығын анықтаңыздар.

24. Өндіріс тәжірибесі үшін 30 студентке Шымкенттен 15 орын_э Қостанайдан 8 орын және Ақтөбеден 7 орын бөлінген. Белгілі бір екі студент үшін тәжірибені өтуге, бір қалаға бару ықтималдығын анықтаңыздар,

25. Топта 25 студент бар оның 7 үздік оқиды. Тізім бойынша кез келген 4 студент таңдап алынған. Осы алынған 4 студенттің ең болмағанда біреуі үздік оқитын студент болу ықтималдығын есептеңіздер.

26. Бір парияда 10 детальбар, оның 8 стандартты. Кез келген алынған 2 детальдың ең кемінде біреуінің стандартты болуының ықтималдығын есептеңіздер.

27. Жәшікте 40 бөлшек бар, оның 34-і ақаусыз. Жәшіктен кез келген 3 бөлшек алынған. Мына оқиғалардың ықтималдығын есептеңіздер: а) алынған 3 бөлшек ақаусыз; ә) кем дегенде 5 бөлшек ақаусыз; б) екі бөлшек ақаусыз.

28. Апатты хабарлау үшін бір-біріне тәуелсіз жұмыс істейтін екі дабыл қағушы орнатылған. Апат кезінде дабыл қағушы жұмыс істеу ықтималдығы бірінші дабыл қағушы үшін 0_, 95- ке, ал екінші үшін 0_, 9-ға тең. Апат кезінде екі дабыл қағушының да жұмыс істеуінің ықтималдығын есептеңіздер.

29. Көпірдіңбұзылуы үшін бір әуебомбаның түсуі жеткілікті. Көпірге 4 бомба тасталған, олардың көпірге дәл түсу ықтималдықтары сәйкес 0_,3; 0_,4; 0_,6; 0,7. Көпірдің бұзылу ықтималдығын есептеңіздер.

30. Нысанаға 4 рет атканда кем дегенде бір рет оқ тигізу ықтималдығы 0.9984-ке тең.Бір рет атқанда нысанаға оқ тигізу ықтималдығы қанша?

31. Оқузалында ықтималдықтар теориясының 9 оқулығы бар, олардың 5-і түптелген.Кітапханашы кез келген 4 оқулық алды. Алынған 4 оқулыктың да түптелген болу ықтималдығы кандай?

32. Жешікте 10 деталь бар, оның алтауы боялған. Құрастырушы таңдамай 4 деталь алады. Алынған детальдардың барлығы да боялған болу ықтималдығын анықтаңыздар.

33. Екі ойын сүйегі лақтырылған. Олардың ең кемінде біреуіңде 5 ұпай пайда болу ықтималдығын есептеңіздер.

34. Электр шамдары 3 заводта жасалынады. Бірінші завод барлық электр шамдарыньң 45%-ық екіншісі - 40%-ын_, ал үшіншісі -15%-ык шығарады. Бірінші заводтан шығатын шамдардың 70% стандартты, екіншісінен - 80%, ал үшіншісінен - 81%. Дүкенге шамдар осы үш заводтан да келеді. Сатып алынған шамның стандартты болу ыктималдығын есептеңіздер.

35. Екі товароведтің біреуі бұйымды стандарттыққа тексереді. Бұйымның бірінші товароведке түсу ықтималдығы-0,55, ал екінші товароведке түсу ыктималдығы-0,45. Бұйымды бірінші товароведтің стандартты деп тануы-0,9, ал екіншісінікі -0,98. Тексеру нәтижесінде бұйым стандартты деп танылды. Бұйымды тексерген екінші товаровед екендігінің ықтимадығын анықтаңыздар.

36. Спортшылар тобында 20 шаңғышы, 6 велосипедші және 4 конькиші бар. Квалификациялық норманы орындау ықтималдығы шанғышы үшін 0_,9; велосипедші үшін 0,8 және конькиші үшін 0,75. Кез келген спортшының норманы орындау ықтималдығын ашыктаңыздар.

37.Формасы бірдей 10 жәшік бар. Олардың 9-нын әрқайсысында 2 ак, 2 қара шарда, ал бір жәшікте 5 ақ, 1қара шар бар. Кез келген жәшіктен калай болса солай бір шар алынған. Алынған шардың түсі ақ. Шардың 5 ақ шары бар жәшіктен алынғандығының ықтималдығы кандай?

38. 4 баласы бар отбасыда 3 ұл және 1 қыз бала болу ықтималдығын анықтаңыздар.

39. Металл теңгені 6 рет лақтырады. Гербтің пайда болуы 3-тен көп болмау ықтималдығы қандай?

40. Кейбір дәнді өсімдіктердің тұкымының шығымдылық қабілеті 70% болды. Егілген 7 тұкым дәнінің мынадай шығу ықтималдыктарын анықтаңыздар: а) 5 дән; ә) 5-тен кем емес; б) 5-тен көп.

41. Батарея нысанаға 5 рет оқ атқан, әрбір оқ атканда тию ыктималдығы 1/3. Нысанаға оқтың мынадай тию ықтималдықтарын аныктаңыздар: а) 2 реттен аз; ә) 2 реттен кем емес.

42. Тұкымның шығымдылығы р = 0,8 болғанда, егілген 900 тұкым дәнінің 175 дәні шықпай қалу ықтималдығын анықтаңыздар.

43. Оқулық 1000000 дана тиражбен шыққан. Оқулықтың дұрыс түптелінбеу ықтималдығы 0_,000І. Осы тиражда 5 ақаулы кітап болу ықтималдығын анықтаңыздар.

44. Қоймадан тұқымға арналған астықтың шығымдылығы 80%. Осы астықтан қалай болса солай 100 дән алынған. Олардың ішінде шығымды тұқым саны: а) 68-ден 90-ға дейін; ә) 80-нен кем болмау ықтималдығын анықтаңыздар.

45. Қоймадағы астыктың шығымдылық қабілеті 80%. Осы астықтың кез келген 100 дән іріктеп алынған. Алынған дәндердің ішінде шығымды дәндердің жиілігінің р-0,8 ықтималдықтан айырмасының абсолют шамаcы 0,1-ден асып кетпеу сенімділік ықтималдығын анықтаңыздар.

46. Шыққан тұқымның көктеу жиілігінің жеке дәннің көктеу ықтималдығы р = 0,95-тен ауытқуының абсолют шамасы 0,01 - ден аз болуының сенімділік ықтималдығы 0,99 болу үшін жүгеріден қанша дән себу керек?

47. Техникалық бақылау бөлімі 475 бұйымды жарамсыздығын анықтау үшін тексереді. Әр бұйымның жарамсыз болу ықтимадығы 0,05. Тексерілген бұйымдар ішінде жарамсыз бұйымдар саны m, сенімділік ықтималдық 0,9426 болғанда, қай аралықта жатады?

48.Товаровед товардың 24 үлгісін қарайды. Әр үлгінің сатуға жарамды болу ықтималдығы 0,6. Товароведтің сатуға жарамды деп бағадаған үлгілерінің ең ықтимал санын табыңыздар.

49. Техникалық бақылау бөлімі 10 бұйымнан тұратын партияны тексерді. Әр бұйымның стандартты болу ықтималдығы ̶ 0,75. Осы партияның ішінде стандартты бұйымдардың ең ыктималды санын табыңыздар.

50. Әр тәуелсіз тәжірибедегі оқиғаның пайда болу ықтималдығы ̶ 0,3, Оқиғаның пайда болуының ең ықтимал саны 30-ға тең болу үшін неше тәжірибе жүргізу керек?

51.Үлестіру заңы белгілі X кездейсоқ шаманың математикалық күтімін анықтаңыздар:

X
P	0,3	0,1	0,2	0,4

 

52. Бір рет оқ атқанда нысанаға тигізу ықтималдығы -0,7. 3 рет оқ атқанда нысанаға тигізу санының үлестірім кестесін құрып, математикалық күтімін аныктаңыздар.

 

53. X кездейсоқ шаманың үлестіру кестесі берілген:

 

 

X
P	0,1	0,6	0.3

Кездейсоқ шаманың дисперсиясын және орташа квадраттық ауытқуын анықтаңыздар.

54. X кездейсоқ шамасы үлестіру заңы арқылы берілген:

 

Х
Р	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

Математикалық күтімі мен дисперсиясын анықтаңыздар.

55. Кездейсоқ шама берілген .

Табу керек:

56. Кездейсоқ шама берілген

Табу керек:

 

57. Үлестіру заңы берілген

58. Үлестіру заңы берілген

59.Үлестіру заңы берілген

 

Табу керек: М(х), Д(х).

60. Кездейсоқ шама берілген .

Табу керек:

61. Кездейсоқ шама берілген .

Табу керек:

62. Кездейсоқ шама берілген .

Табу керек:

63. Кездейсоқ шама берілген .

Табу керек:

64. X кездейсоқ шамасы Ғ(х) үлестіру функциясымен берілген:

1) Ықтималдықтың үлестірім тығыздығы f(х) функциясын;

2) X кездейсок шамасынын қабылдайтын мәндерінің [0,1]

аралығында жату ықтималдығын тауып; f(х), Ғ(х) функциялардың графигін салыңыздар.

65. үлестірім тығыздығымен берілген. X үзіліссіз кездейсок шаманың М(х),Д(х) және (х) табыныздар.

66. Нормаль үлестірімді X кездейсок шамасының М(х) = 5, о-(х) = 1, Осы шаманын мәндерінің [1.12] аралығында тусу ыктималдығын анықтаңыздар.

 

67. көрсеткіш заңы бойынша үлестірімді X үзіліссіз

кездейсоқ шамасының [0.2; 0_,5] аралығына түсу ықтималдығын аңықтаңыздар.

Жауабы: 0,314

68. Жәшікте 100 ақ және 2000 кара шар бар. Жәшіктен кез келген 300 шар алынды. Осы 300 шардың ішіндегі ақ шарлар саны m мына 80<m<120 кос теңсіздікті каңағаттандыратындығының ықтималдығын төменнен бағалау керек.

69.Нормаль үлестрімді Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімі 5-ке және орташа квадраттық ауытқуы 1-ге тең. Осы шаманың мәндерінің берілген [1;12] аралығына түсу ықтималдығын табу керек.

Жауабы: 0,9999

70.Нормаль үлестрімді Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімі 30-ға және орташа квадраттық ауытқуы 10-ға тең. Осы шаманың мәндерінің берілген [10;50] аралығында жататын мәндерді қабылдау ықтималдығын табу керек.

Жауабы:Р(10<x<50)=0,9544

71. 2134 тәуелсіз кездейсоқ шаманың әрқайсының орташа квадраттық ауытқуы 4-тен аспайды. Осы кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасынан ауытқуының абсалют шамасы 0,5-тен аспауының ықтималдығын бағалау керек.

Жауабы: 0,9700

72. 2500 тәуелсіз кездейсоқ шаманың әрқайсының дисперсиясы 5-тен аспайды. Осы кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасының олардың математикалық күтімінің арифметикалық ортасынан ауытқуының абсалют шамасы 0,4-тен аспауының ықтималдығын бағалау керек.

Жауабы:Р>0.9375

73. Жәшікте 100 ақ және 2000 қара шар бар. Жәшіктен 300 шар алынды(кейін қайта салынды). Осы 300 шардың ішіндегі ақ шарлар саны m мына 80 <m<120 қос теңсіздікті қанағаттандыратындығының ықтималдығын төменнен бағалау керек.

Жауабы:5/6

74.Автоматтық телефон станциясына 1 минутына, орта есеппен, 5 рет шақыру түседі. 2 минутта түсетін шақыру саны:а) 2; б) 2-ден аз;

ә) 2- ден кем болмау ықтималдығын табыңыздар.

Ескерту:e^-10=0,00045.

Жауабы:а) 0,00025; б) 0,000495; ә) 0,999505.

75.Х кездейсоқ шаманың 100 тәуелсіз тәжірибеде:х₁,х₂,...,х₁₀₀ мәндері табылсын. Математикалық күтімі М(Х)=10 және дисперсиясы Д(Х)=1 болсын.Орташа арифметикалық кездейоқ шаманың мәндері мен математикалық күтімнің айырмасының абсалют шамасы кіші ½ болуының төменнен ықтималдығын бағалау керек.

Жауабы:Р=0,96

 

Осымша 1

 

Функциялардың мәндерінің кестесі

 

0,0	0,3989
0.1	0,3970
0.2
00.3
00.4
00.5
00.6
00.7
00.8
00.9
1.0	0.2420
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0	0.0540
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0	0.0044
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9

Функциялардың мәндерінің кестесі Қосымша 2

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,000	0,45	0,1736	0,90	0,3159	1,35	0,4115
0,01	0,0040	0,46	0,1772	0,91	0,3186	1,36	0,4131
0,02	0,0080	0,47	0,1808	0,92	0,3212	1,37	0,4147
0,03	0,0120	0,48	0,1844	0,93	0,3238	1,38	0,4162
0,04	0,0160	0,49	0,1879	0,94	0,3264	1,39	0,4177
0,05	0,0199	0,50	0,1915	0,95	0,3289	1,40	0,4192
0,06	0,0239	0,51	0,1950	0,96	0,3315	1,41	0,4207
0,07	0,0279	0,52	0,1985	0,97	0,3340	1,42	0,4222
0,08	0,0319	0,53	0,2019	0,98	0,3365	1,43	0,4236
0,09	0,0359	0,54	0,2054	0,99	0,3389	1,44	0,4251
0,10	0,0398	0,55	0,2088	1,00	0,3413	1,45	0,4265
0,11	0,0438	0,56	0,2123	1,01		1,46	0,4279
0,12	0,0478	0,57	0,2157	1,02	0,3461	1,47	0,4292
0,13	0,0517	0,58	0,2190	1,03	0,3485	1,48	0,4306
0,14	0,0557	0,59	0,2224	1,04	0,358	1,49	0,4319
0,15	0,0596	0,60	0,2257	1,05	0,3531	1,5	0,4332
0,16	0,0636	0,61	0,2291	1,06	0,3554	1,51	0,4345
0,17	0,0675	0,62	0,2324	1,07	0,3577	1,52	0,4357
0,18	0,0714	0,63	0,2357	1,08	0,3599	1,53	0,4370
0,19	0,0753	0,64	0,2389	1,09	0,3621	1,54	0,4382
0,20	0,0793	0,65	0,2422	1,10	0,3643	1,55	0,4394
0,21	0,0832	0,66	0,2454	1,11	0,3665	1,56	0,4406
0,22	0,0871	0,67	0,2486	1,12	0,3686	1,57	0,4418
0,23	0,0910	0,68	0,2517	1,13	0,3708	1,58	0,4429
0,24	0,0948	0,69	0,2549	1,14	0,3729	1,59	0,4441
0,25	0,0987	0,70	0,2580	1,15	0,3749	1,6	0,4452
0,26	0,1026	0,71	0,2611	1,16	0,3770	1,61	0,4463
0,27	0,1064	0,72	0,2642	1,17	0,3790	1,62	0,4474
0,28	0,1103	0,73	0,2673	1,18	0,3810	1,63	0,4484
0,29	0,1141	0,74	0,2703	1,19	0,3830	1,64	0,4495
0,30	0,1179	0,75	0,2734	1,20	0,3849	1,65	0,4505
0,31	0,1217	0,76	0,2764	1,21	0,3869	1,66	0,4515
0,32	0,1255	0,77	0,2794	1,22	0,3883	1,67	0,4525
0,33	0,1293	0,78	0,2823	1,23	0,3907	1,68	0,4535
0,34	0,1331	0,79	0,2852	1,24	0,3925	1,69	0,4545
0,35	0,1368	0,80	0,2881	1,25	0,3944	1,7	0,4554
0,36	0,1406	0,81	0,2910	1,26	0,3962	1,71	0,4564
0,37	0,1443	0,82	0,2939	1,27	0,3980	1,72	0,4573
0,38	0,1480	0,83	0,2967	1,28	0,3997	1,73	0,4582
0,39	0,1517	0,84	0,2995	1,29	0,4015	1,74	0,4591
0,40	0,1554	0,85	0,3023	1,30	0,4032	1,75	0,4599
0,41	0,1591	0,86	0,.3051	1,31	0,4049	1,76	0,4608
0,42	0,1628	0,87	0,3078	1,32	0,4066	1,77	0,4616
0,43	0,1664	0,88	0,3106	1,33	0,4082	1,78	0,4625
0,44	0,1700	0,89	0,3133	1,34	0,4099	1,79	0,4633

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
1,80	0,4641	2,00	0,4772	2,40	0,4918	2,80	0,4974
1,81	0,4649	2,02	0,4783	2,42	0,4922	2,82	0,4976
1,82	0,4656	2,04	0,4793	2,44	0,4927	2,84	0,4977
1,83	0,4664	2,06	0,4803	2,46	0,4931	2,86	0,4979
1,84	0,4671	2,08	0.4812	2,48	0,4934	2,88	0,4980
1,85	0,4678	2,1	0,4821	2,50	0,4938	2,90	0,4981
1,86	0,4686	2,12	0,4830	2,52	0,4941	2,92	0,4982
1,87	0,4693	2,14	0,4838	2,54	0,4945	2,94	0,4984
1,88	0,4699	2,16	0,4846	2,56	0,4948	2,96	0,4985
1,89	0,4706	2,18	0,4854	2,58	0,4951	2,98	0,4986
1,90	0,4713	2,2	0.4861	2,6	0,4953	3,00	0,49865
1,91	0,4719	2,22	0,4868	2,62	0,4956	3,20	0,49931
1,92	0,4726	2,24	0,4875	2,64	0,4959	3,40	0,49966
1,93	0,4732	2,26	0,4881	2,66	0,4961	3,60	0,499841
1,94	0,4738	2,28	0,4887	2,68	0,4963	3,80	0,499928
1,95	0,4744	2,30	0,4893	2,70	0,4965	4,00	0,499968
1,96	0,4750	2,32	0,4898	2,72	0,4967	4,50	0,499997
1,97	0,4756	2,34	0,4904	2,74	0,4969	5,00	0,499997
1,98	0,4761	2,36	0,4909	2,76	0,4971
1,99	0,4767	2,38	0,4913	2,78	0,4973

 

Орытынды

Осы оқу құрамында комбинаторика негіздері және ықтималдықтар теориясы қаралған.

Бірінші «Комбинаторика» бөлімінде теориялық материал берілді. Қаралған материалдар: қосынды мен көбейтінді ережесі, алмастырулар,қайталанбайтын орналастырулар, қайталанбайтын терулер, қайталанбалы орналастырулар, қайталанбалы терулер, қайталанбалы алмастырулар, мультижиындар. Екінші бөлім: «Ықтималдықтар теориясыны элементтері,оқиғиалар» теориялық материалды қамтиды.

«Есептер». Бұл бөлімде комбинаториканың мен оқиғалардың ықтималдықтарының есептері және оларды шешу жолдары көретілді.

Математиканы оқытудың маңыздылығы математикалық ойлау стилінің қалыптасуы болып табылады. Математикалық білім беру жалпы адамның мәдени қалыптасуына үлес қосады. Бұл есептер жиынтығының мақсаты: қазіргі таңдағы орта білім беретін жоғары оқу орындарының студенттеріне әдістемелік көмек беру болатын. Сондықтан осы мақсатты жүзеге асыру үшін комбинаториканың теориялық негіздерін элементар түрде бердік және берілген ұғымдарды, теорияларды дәстүрлі және жаңа мысалдармен және есептермен түсіндіріп көрсетілді.

Бұл оқу құралы қазіргі таңдағы орта білім беретін мектептерде дарынды оқушылармен жұмыс жасаған кезде, физика-математика бағытындағы сыныптарға және жоғары оқу орындарының студенттеріне арналған әдістемелік құрал болып табылады.

Осындай әдістемелік құралдың болуы маңызды деп ойлаймын, себебі білімді ұрпақ тәрбиелеу қазіргі кезде еліміздің басты мәселелерінің бірі болып отыр.