Моменттер, асимметрия және экцесс 5 страница

Бір ладьяны 64 әдіспен қоюға болады. Көлденең және тік торларды сызып тастаймыз. Қалған 7 көлденең және 7 тік 7∙7=49 тор болады. Екінші ладьяны кез келген 49 бос торға қоюға болады. Есептің шарты бойынша әр түсті екі ладьяны шахмат тақтасына бір-бірін соқпау үшін 64∙49 әдісімен қоюға болады. Бұл қолайлы нәтижелер саны.

Сол кезде ізделінетің ықтималдық тең.

 

68. n жәшіктердің ішіне кездейсоқ m асық салынды (барлық асық бір жәшікке түсуі мүмкін). Бірінші жәшікке асық түсуі, екіншісіне - және т.б., ал n -ші асық түсу ықтималдығы қандай? Мұнда .

Шешімі:

Нөмірлеп алынған m асықтар 1-ден m -ға дейін, n жәшіктердің ішіне орналасуы салтаннатты шерудің ( …, ) n ұзындығымен көрсетілген. Мұнда саны жәшік нөмірін және i асықтың қайда түскенің көрсетеді. Әр санды n әдіспен табуға болады. Есептің шарты бойынша m асықты n жәшікті әдіспен орналастыруға болады. Бұл алуан түрлі нәтижелер саны.

қолайлы нәтижелер саның белгілейміз. Енді n үшін формуланы математикалық индукция әдісімен дәлелдейік.

n =2 болсын. Онда . Бірінші жәшікке асықты әдіспен салуға болады (қайталану саны қайталанады). Қалған екінші жәшікке жалғыз әдіспен орналасқан. Есептің шарты бойынша бірінші жәшікке асық, екінші жәшікке - асықты әдісімен орналастыруға болады. Сондықтан формула n =2 сан үшін әділетті.

n = k +1 болсын және k үшін формула сай келеді.

деп алайық. Онда . Егер бірінші k жәшікті біріктіріп, бір бүтін деп санасақ, осыдан асықтарды бірінші жәшікке, ал асықтарды (k +1) жәшігікке әдісімен орналастыруға болады.

Индукция ұсынысы бойынша асықтарды k жәшікке әдісімен орналастыруға болады, егер шартына сәйкес болса.

Есептің шарты бойынша бірінші жәшікке асық, екіншісіне - асық және әрі қарай, (k +1) жәшікке асықтарды әдісімен орналастыруға болады.

Математикалық индукция әдісі бойынша формуласы кез келген n>1 натурал сан үшін орындалады.

Қорыта келгенде қолайлы нәтижелер саны тең. Сондықтан ізделінетін ықтималдық тең.

 

69. Тиынды елтаңба жағымен немесе 4 рет сан жағымен түспегенше дейін лақтыра берді. Қарапайым оқиғалардың кеңiстiгiн анықтаңыз.

Шешімі:

­ “тиын i- ші рет лақтырғанда елтаңба жағымен түсу” оқиғасын білдірсін, i =1, 2, 3, 4. Онда “тиын i- ші рет лақтырғанда сан жағымен түсу” оқиғасын білдірсін.

Қарапайым оқиғалардың кеңiстiгi 5 оқиғадан тұрады: .

Шынында оқиғаларға операцияның қасиетін қолдана Мұнда біз кез келген A, B, C оқиғалардың теңсіздігін қолдана, U – анықталған оқиға. Сондықтан оқиғалардың жалпы саны анықталған оқиғалар болып саналады.

Енді бұл оқиғалар сәйкес еместігін анықтайық. Айталық егер оқиғасы, басқа оқиғаларда қарама-қарсы көбейткіш оқиға ретінде кездеседі. Сондықтан оқиғасы қалғандарына сәйкес емес. Егер екінші оқиғаны алсақ , онда біз оның сәйкес еместігін көрсетеміз. Қалған оқиғалар туралы айтсақ, онда оқиғасында көбейткіші бар, ал қалғандарында – қарама-қарсы көбейткіш . Сондықтан оқиғасы қалғандарымен сәйкес емес және тағы да солай.

Қорыта келгенде оқиғалары жұп-жұппен сәйкес емес және оның жалпы қосындысы анықталған оқиға болып саналады. Демек, олар қарапайым оқиғалар кеңістігін түзеді.

70. 1 мен 9 сандар арасында сәтке бір сан таңдалды. Таңдалған сан 1) жұп; 2) тақ; 3) жай сан болу ықтималдығы қандай?

Шешімі:

1 мен 9 сандар арасында біреуін 9 әдіспен анықтауға болады. Бұл сан әр түрлі оқиғалар саны.

1) 1 мен 9 сандар арасында 4 жұп сан бар. Бұл сан қолайлы

нәтижелер саны.

Сондықтан таңдалған сан жұп болу ықтималдығы тең.

2) 1 мен 9 сандар арасында 5 тақ сан бар. Бұл сан қолайлы нәтижелер саны.

Сондықтан таңдалған сан тақ болу ықтималдығы тең.

3) 1 мен 9 сандар арасында 4 жай сан бар. Олар: 2, 3, 5, 7. Бұл сан қолайлы нәтижелер саны. Сондықтан таңдалған сан жай болу ықтималдығы тең.

 

71. Өнімнің 1,5% өндіруі ақаулы болуы айқындалған. Бұл өндірісте 1000 бөлшектің ішінен қанша бөлшек ақаулы болады?

Шешімі:

Өнімнің 1,5% өндіруі ақаулы деп санайық, онда бір бөлшек ақаулы болу ықтималдығы P =0,015 тең. Өнімнің көлемі n =1000 бөлшек. Бұл алуан түрлі нәтижелер саны. Қолайлы нәтижелер m санын таңдап алайық. Ықтималдықты анықтау кезінде . Осыдан . Онда m =1000∙0,015=15.

Қорыта келгенде орташа алғанда 1000 бөлшектің 15 бөлшегі ақаулы болып келеді.

 

72. Ойын сүйегін 3 рет лақтырған кезде, бір рет “алты” шығу ықтималдығы қандай?

Шешуі: “ойын сүйегі i- ші рет лақтырғанда алты түсу” оқиғасын білдірсін, i =1, 2, 3, 4. Онда “ойын сүйегі i- ші рет лақтырғанда алты түспеу” оқиғасын білдірсін және шарты “ойын сүйегі 3 рет лақтырылған кезде бір де бір рет алты түспеу ” оқиғасын білдірсін. Осыдан «ойын сүйегі 3 рет лақтырылған кезде бір рет алты түсу» қарама-қарсы оқиғасы.

аламыз.

73. В және С – үйлесімсіз оқиғалар болсын және Р(А)≠0. теңдігін дәлелдеңдер.

Шешімі: Көбейтудің жалпыланған ережесі бойынша Р(АВ) = Р(А)* , Р(АС) = Р(А)* , Р(А(В+С)) = Р(А)* . Р(А)≠0 болғандықтан, болады, . В және С оқиғасы үйлесімсіз, сондықтан Р(В+С) = Р(В) + Р(С), бұдан Р(АВ+АС) = Р(АВ+Р(АС).

Енді

74. Р(А)≠0 болсын. Сонда теңдігін дәлелдеңдер.

Шешімі: Көбейтіндінің қорытындыланған ережесі бойынша, Бұдан шығатындығы және де Онда

75. Әр шаршының қабырғасы 2а болатын шахматты тақтаның бетіне радиусы r<a болатын тиын лақтырылған. Тиынның бір ғана шаршының ішінде болатындығының ықтималдылығы қандай?

Шешімі:

Тиынның тордың ішінде толығымен орналасуы үшін оның центріне тордың қабырғасына дейінгі қашықтық r-дан үлкен болуы шарт. Басқаша айтқанда, тиын бір тордың ішінде тұтастай еніп жатуы үшін тиынның центрі қабырғасы (2а-2r) болатын шаршыға түсетіндей болуы қажет.

 

Тордың ауданы тең. Бұл “сан” барлық жағдайлардың мәні. Кіші квадраттың ауданы тең. Бұл оңтайланған жағдайдың “саны”. Тиынның тұтастай торға түсуінің ықтималдылығы олардың аудандарының қатынасымен анықталады:

 

76. Ертеде бір хан өзінің қызметшілерінің жазасын жеңілдету үшін, яғни басын кесу жазасын, өзіне 2 ақ және 2 қызыл асық беруіне әмір етті. Ханның шарты бойынша қызметші ол асықтарды екі қапшыққа бөліп салу керек еді, содан соң баскесер сол қапшықтардан біреуін кездейсоқ таңдап алады да, одан бір асықты алып шығады. Егер де ол асық ақ болса, онда қызметшінің жазасы кешіріледі, ал егер қызыл болса, онда басы кесіледі. Өзінің жазасы ең үлкен ықтималдылықпен кешірілу үшін, ол асықтарды осы екі қапқа қалай бөліп салуы керек?

Шешімі:

Екі қапшыққа асықтарды 4 тәсілмен бөліп салуға болады:{а, аққ}, {ақ, ақ}, {аа, ққ}, {қ, аақ}. Мұндағы {а, аққ} деген бірінші қапшыққа ақ, екінші қапшыққа {ақ, қызыл, қызыл} асық салынды деген сөз. «Бірінші қапшық таңдалды» - деген оқиғаны А деп белгілейік, «Екінші қапшық таңдалды»-деген қарама-қарсы оқиғаны деп белгіленсін, ал «бірінші таңдалды және ақ асық таңдалды» дегенді – АВ деп белгілеп, «Екінші қапшық таңдалды және ақ асық таңдалды» ̶ дегенді деп белгілейік. Әрі қарай, АВ+ Сондықтан . АВ және оқиғалары үйлесімсіз болғандықтан, онда Бұдан

Әрі .

Бұдан, [ Бұл мәндерді келесі 4 жағдайда есептейік: жағдай {а, аққ}. Бұл жағдайда Жағдай {ақ,ақ}. Бұл жағдайда {аа, ққ}. Бұл жағдайда Жағдай {қ,аақ}.

Бұл жағдайда

Біз бұдан көріп отырмыз, яғни {а, аққ} жағдайда ақ асықтың суырылу ықтималдылығы ең үлкен болатындағын, ендеше қызметшіге асықтарды дәл осылай етіп қапшықтарға салуы керек.

 

77. Шаршыға кездейсоқ 4 нүкте тасталған. Шаршыға іштей сызылған дөңгелек осы нүктелердің дәл екеуі түсуінің ықтималдылығы қандай?

Шешімі: Шаршының қабырғасы а болсын. Онда оған іштей сызылған дөңгелектің радиусы - ге тең. Шаршының ауданы , ал дөңгелектің ауданы Сондықтан, шаршының бір кездейсоқ нүктесі дөңгелектің ішіне түсу ықтималдылығы

 

 

 

«шаршының і - ші нүктесі дөңгелек ішіне түсті» деген белгі болсын, і = 1, 2, 3, 4. Онда қарама-қарсы оқиға: «і – ші нүкте дөңгелекке түскен жоқ» - болсын. Және . 4 нүктеде дөңгелектің ішіне түсті деген оқиға Қарапайым оқиғаны көрсетеді: : «ең алғашқы нүкте дөңгелектің ішіне түсті, ал қалған екеуі түскен жоқ» дегенді білдіреді. Бұл 6 қарапайым оқиғаның ықтималдылықтары тең. Айталық, Сондықтан, шаршының 4 кездейсоқ нүктесінің дәл екеуі дөңгелекке түседі дегеннің ықтималдылығы

 

78. Комбайн шығаратын фабриканың техника бөлімі 900 комбайнды мемлекеттік стандартқа сәйкес келетіндігін тексерді. Комбайнның стандартқа жататындығының ықтималдығы 0,9544. Болғандығы шектерін табу керек.

 

Шешімі:

кесте бойынша Ф(2)=0,4772, яғни , n, p, q мәндеріе қойсақ: Е=0,02.

Сондықтан,

Жауабы: тексеруден өткен комбайндардың стандартқа жататындығының интервалы аралығында екен.

 

79. N тәуелсіз тәжірибелерде оқиғалардың:

а) тура k рет;

б) k-дан кем емес рет;

в) k- дан артық емес болу ықтималдылықтарын табу.

Шешуі:

а)

б) в)

 

80. Әр n тәуелсіз тәжірибе нәтижесінде А оқиғасының пайда болуының р ықтималдығы берілген. Осы сынауда А оқиғасының m рет пайда болуының ықтималдылығын табу керек.

Шешімі:

 

81. Әр n тәуелсіз тәжірибе нәтижесінде А оқиғасының пайда болуының ықтималдылығы берілген. Осы сынауда А оқиғасының -ден кем емес және -ден артық емес пайда болуының ықтималдылығын тап.

 

Шешімі: