Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия деп атайды, оны былай белгілейміз
Дисперсияның қасиеттері:
1. D(C)=0, C=const
2.D(X+Y)= D(X) +D(Y)
3. D(X)-D(Y)=D(X)+D(Y)
4. D (CX)=C2 D(X)
тендігімен анықталатын шаманы орташа квадраттық ауытқу деп, ал орташа квадраттық ауытқудың математикалық күтімге қатынасын 
вариация коэффициенті деп атайды.
1 мысал. Оқушы бір-біріне ұқсас емес үш есеп шығарады. Оқушының әрбір есепті шығару ықтималдығы бірдей және ол 0,6 тең.
Әрбір шығарылған есеп үшін оқушыға 5 пайдан есептейді. Шығарылған есептердің үлестіру кестесінің, алған пай санының М(Х), D(X), 
және 
анықтау керек.
Шешуі: Х арқылы пай санын белгілейік. Сонда: х1=0, х2=5, х3=10,х4=15 мүмкін мәндері болады. Ықтималдықтарды Бернулли формуласы бойынша табамыз:
Сонда, X кездейсоқ шамасының үлестіру кестесі мынадай болады:
| X | ∑ | ||||
| Pi | 0,064 | 0,288 | 0,432 | 0,216 | 1,00 |
M(X) = 0 * 0,064 + 5 * 0,288 + 10* 0,432 + 15 * 0,216 = 9;
D(X) = M(X – M(X))2 = M(X – 9)2 = (0 – 9)2 *0,064 + (5 – 9)2 *0,288 +
+ (10-9)2 * 0,432 + (15 – 9)2 * 0,216 = 81* 0,064 + 16 * 0,288 + 1* 0,432 +
+ 36 * 0,216 = 18. Олай болса,
4. Үздіксіз кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шаманың қабылайтын мүмкін мәндерін жекелеп, айырып сануға келмей белгілі бір аралықты біртұтас толтырып жатса, онда мұндай шамалары үздіксіз кездейсоқ шама дейміз.
Анықтама. X кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы (үлестірудің интегралдық фунциясы) F(X) дегеніміз, X шамасының х – тен кіші мән қабылдау ықтималдығы, яғни
теңдігімен анықталады.
Үлестіру функциясының қасиеттері:
10. 0 ≤ F(X) ≤ 1; 20. x1 < x2 
F(x1) ≤ F(x2);
30. P(a < X < b) = F(b) – F)a); 40. P(X = x1) = 0;
50. P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b);
60. X € (a,b), онда x ≤ a болса, F(x) = 0; x ≥ b болса, F (x) = 1.
Анықтама. Егер Х кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы F(x)- тің туныдысы бар болса, онда F(x) туындысын Х шамасының үлестіру тығыздығы деп атайды және оны f(x) арқылы белгілейді.
f(x)=F/(x)
үлестіру тығыздығының (дифференциалдық функцияның) қасиеттері:
10. 
; 20. 
;
30. 
;
үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін
; 
;
Бұл формулардағы интегралдар бар болады және меншіксіз интегралдар абсолютті жинақты деп түсінеміз.
|
тендігімен анықталатын X кезедейсоқ шамасын бірқалыпты үлестірімді деп атайды. Мұнда: үлестіру функциясы
|
мұндағы a, 
нақты параметрлер, тендігімен анықталатын X кездейсоқ шамасын қалыпты үлестірімді деп атайды.
Мұнда: 
Ф(x)= 
Лаплас функциясы.
Ықтималдық тығыздығы 
мұндағы 
параметр, тендігімен анықталатын Х кездейсоқ шамасын көрсеткіштік заң бойынша үлестірімді деп атайды.
|
2 мысал. Кездейсоқ шама Х ықтималдық тығыздығы
|
арқылы берілген. Кездейсоқ шаманың M(x), D(x) және σ(х) табу керек.
Шешімі:
3 мысал. Қалыпты үлестірімді кездейсоқ шаманың математикалық күтімі а=40, дисперсиясы 
. Кездейсоқ шаманың (30;80) интервалында жатуының ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: Мұнда 
Сонда
(Лаплас функциясының кестесі қолданылады).
