Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы және орташа квадраттық ауытқуы

Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия деп атайды, оны былай белгілейміз

 

 

Дисперсияның қасиеттері:
1. D(C)=0, C=const
2.D(X+Y)= D(X) +D(Y)

3. D(X)-D(Y)=D(X)+D(Y)

4. D (CX)=C² D(X)

тендігімен анықталатын шаманы орташа квадраттық ауытқу деп, ал орташа квадраттық ауытқудың математикалық күтімге қатынасын вариация коэффициенті деп атайды.

 

1 мысал. Оқушы бір-біріне ұқсас емес үш есеп шығарады. Оқушының әрбір есепті шығару ықтималдығы бірдей және ол 0,6 тең.

Әрбір шығарылған есеп үшін оқушыға 5 пайдан есептейді. Шығарылған есептердің үлестіру кестесінің, алған пай санының М(Х), D(X), және анықтау керек.

Шешуі: Х арқылы пай санын белгілейік. Сонда: х₁=0, х₂=5, х₃=10,х₄=15 мүмкін мәндері болады. Ықтималдықтарды Бернулли формуласы бойынша табамыз:

 

Сонда, X кездейсоқ шамасының үлестіру кестесі мынадай болады:

 

X					∑
Pi	0,064	0,288	0,432	0,216	1,00

 

M(X) = 0 * 0,064 + 5 * 0,288 + 10* 0,432 + 15 * 0,216 = 9;

D(X) = M(X – M(X))² = M(X – 9)² = (0 – 9)² *0,064 + (5 – 9)² *0,288 +

+ (10-9)² * 0,432 + (15 – 9)² * 0,216 = 81* 0,064 + 16 * 0,288 + 1* 0,432 +

+ 36 * 0,216 = 18. Олай болса,

 

 

4. Үздіксіз кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шаманың қабылайтын мүмкін мәндерін жекелеп, айырып сануға келмей белгілі бір аралықты біртұтас толтырып жатса, онда мұндай шамалары үздіксіз кездейсоқ шама дейміз.

Анықтама. X кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы (үлестірудің интегралдық фунциясы) F(X) дегеніміз, X шамасының х – тен кіші мән қабылдау ықтималдығы, яғни

теңдігімен анықталады.

Үлестіру функциясының қасиеттері:

1⁰. 0 ≤ F(X) ≤ 1; 2⁰. x₁ < x₂ F(x₁) ≤ F(x₂);

3⁰. P(a < X < b) = F(b) – F)a); 4⁰. P(X = x₁) = 0;

5⁰. P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b);

6⁰. X € (a,b), онда x ≤ a болса, F(x) = 0; x ≥ b болса, F (x) = 1.

Анықтама. Егер Х кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы F(x)- тің туныдысы бар болса, онда F(x) туындысын Х шамасының үлестіру тығыздығы деп атайды және оны f(x) арқылы белгілейді.

f(x)=F^/(x)

үлестіру тығыздығының (дифференциалдық функцияның) қасиеттері:

1⁰. ; 2⁰. ;

 

3⁰. ;

үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін

; ;

Бұл формулардағы интегралдар бар болады және меншіксіз интегралдар абсолютті жинақты деп түсінеміз.

x<,a, a≤x≤b, x>b

Ықтималдықтар тығыздығы

тендігімен анықталатын X кезедейсоқ шамасын бірқалыпты үлестірімді деп атайды. Мұнда: үлестіру функциясы

 

x≤a, a<x<b, x≥b

Ықтималдық тығыздығы

мұндағы a, нақты параметрлер, тендігімен анықталатын X кездейсоқ шамасын қалыпты үлестірімді деп атайды.

Мұнда:

 

 

Ф(x)= Лаплас функциясы.

 

Ықтималдық тығыздығы

 

мұндағы параметр, тендігімен анықталатын Х кездейсоқ шамасын көрсеткіштік заң бойынша үлестірімді деп атайды.

x<0, x≥

Мұнда:

2 мысал. Кездейсоқ шама Х ықтималдық тығыздығы

x<0, 0≤x≤2, x>2

 

арқылы берілген. Кездейсоқ шаманың M(x), D(x) және σ(х) табу керек.

Шешімі:

 

3 мысал. Қалыпты үлестірімді кездейсоқ шаманың математикалық күтімі а=40, дисперсиясы . Кездейсоқ шаманың (30;80) интервалында жатуының ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі: Мұнда

Сонда

(Лаплас функциясының кестесі қолданылады).