Моменттер, асимметрия және экцесс 3 страница

 

35. Дөңгелек үстел басында n адам отыр. Осы адамдардың шеңбер бойымен жылжитын барлық алмастырулары саны =(n –1)! формуласымен анықталатынын көрсетіңдер.

Шешімі: Математикалық индукция принципін қолданайық. A (n) – n адамдардың шеңбер бойымен жылжитын барлық алмастырулары саны болсын.

n = 3 болсын. Үш адамды үстел басында шеңбер бойымен жылжитын барлық алмастырулары 123, 132 болады, өйткені басқа варианттар осы екеудің біреуіне тең болады. Шынында, барлығы 6 алмастыру бар: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Олардың үшіншісі мен алтыншысын екіншісіне жылжу арқылы келтіруге болады, ал төртінші мен бесіншісін – біріншіге алмастыруға болады.

Сондықтан A (3) = (3 – 1)!.

Енді формула n = k жағдайына орындалсын, яғни

A (k) = (k – 1)! = болсын.

Ал, n = k + 1 болсын. Үстел басындағы k адамдардың арасында

(k + 1)-адамды отырғызу үшін k орын табылады. Индукцияның жорамалы бойынша, қалған k адамды қалған орындарға A (k) тісілмен отырғызуға болады. Көбейту ережесі бойынша,

A (k + 1) = A (k)× k = (k – 1)!× k = k! = .

Математикалық индукция принципі бойынша, A (n) = (n – 1)! формуласы кез келген натурал n > 2 санына орындалады.

 

36. Темір жол бектінде m бағдаршам бар. Егер әрбір бағдаршам «қызыл», «сары», «жасыл» түсті үш түрлі белгі бере алса, онда осы m бағдаршамдар көмегімен барлығы неше түрлі тәсілмен белгілер беруге болады?

Шешімі: Әрбір бағдаршам 3 түрлі белгі бере алады. Ал m бағдаршам = 3 ^m түрлі белгі бере алады (қайталанбалы орналастырулар саны).

 

37. Дөңгелек үстел басына 5 қыз бала мен 5 ұл баланы, 2 қыз бала не 2 ұл бала қатар отырмайтындай етіп, неше түрлі тәсілмен отырғыза аламыз?

Шешімі: 5 қыз баланы ұл балалардың арасына 5! тәсілмен отырғызуға болады. 5 ұл баланы 5 қыз баланың арасында 5! тәсілмен отырғызуға болады. Көбейтінді ережесі бойынша, дөңгелек үстел басына 5 қыз бала мен 5 ұл баланы, 2 қыз бала не 2 ұл бала қатар отырмайтындай етіп, 5!×5! тәсілмен оытрғыза алуға болады.

 

38. 2, 4, 5 цифрларының көмегімен 10⁴-нен кіші неше: 1) тақ сандар; 2) жұп сандар жазып шығуға болады?

Шешімі: 10⁴-нен кіші сан бір таңбалы, екі таңбалы, үш таңбалы сан немесе төрт таңбалы сан бола алады.

1) 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын бір таңбалы бір тақ сан бар: 5.

2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын екі таңбалы тақ сандардың соңғы цифры 5 болу керек, ал бірінші цифры 2, 4, 5 бола алады. Сондықтан 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын екі таңбалы тақ сандардың саны 3×1 болады.

Осындай үш таңбалы сандардың алғашқы екі цифрын үш тәсілмен таңдап алуға болады. Сондықтан 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын үш таңбалы тақ сандардың саны 3×3×1 болады.

Осындай төрт таңбалы сандардың алғашқы үш цифрын үш тәсілмен таңдап алуға болады. Сондықтан 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын төрт таңбалы тақ сандардың саны 3×3×3×1 болады.

Сөйтіп, 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын тақ сандардың саны 1 + 3 +3² +3³ = 40 болады.

2) 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын бір таңбалы екі жұп сан бар: 2, 4.

2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын екі таңбалы жұп сандардың соңғы цифры 2 немесе 4 болу керек, ал бірінші цифры 2, 4, 5 бола алады. Сондықтан 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын екі таңбалы жұп сандардың саны 3×2 = 6 болады.

Осындай үш таңбалы сандардың алғашқы екі цифрын 3² тәсілмен, соңғысын 2 тәсілмен таңдап алуға болады. Сондықтан 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын үш таңбалы жұп сандардың саны 3×3×2 = 18 болады.

Осындай төрт таңбалы сандардың алғашқы үш цифрын 3 тәсілмен, соңғысын 2 тәсілмен таңдап алуға болады. Сондықтан 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын төрт таңбалы жұп сандардың саны 3×3×3×2 = 54 болады.

Сөйтіп, 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын жұп сандардың саны 2 + 6 +18 + 54 = 80 болады.

 

39. Сабақ үстінде тақтаға 5 оқушы шықты. Егер олардың ешқайсысы «екілік» алмайтыны белгілі болса, онда бұл оқушыларға неше түрлі тәсілмен бағалар қойып шығуға болады?

Шешімі: Әрбір оқушыға 3 баға қоюға болады: 3, 4, 5. Сондықтан 5 оқушыға бағаны = 3⁵ = 243 тәсілмен қоюға болады (қайталанбалы орналастырулар саны).

 

40. 4 оқушыға 12 кітапты неше түрлі тәсілмен тең бөліп беруге болады?

Шешімі: Әрбір оқушыға 3 кітап беру керек. Бірінші оқушыға 3 кітапты тәсілмен, екінші оқушыға қалған 9 кітаптан 3 кітапты тәсілмен, үшіншіге қалған 6 кітаптан 3 кітапты тәсілмен, төртіншіге қалған 3 кітапты 1 тәсілмен бөліп беруге болады. Көбейтінді ережесі бойынша, 4 оқушыға 12 кітапты × × ×1 = × × тәсілмен тең бөліп беруге болады.

 

41. 30 оқушыны ағылшын, неміс және француз тілдерін оқыту үшін он-оннан үш топқа бөлу қажет. Оны неше түрлі тәсілмен орындауға болады?

Шешімі: 30 оқушыдан бірінші топқа 10 оқушыны тәсілмен, қалған 20 оқушыдан екінші топқа 10 оқушыны тәсілмен таңдап алуға болады. Ал қалған 10 оқушыны үшінші топқа 1 тәсілмен жібере саламыз.

Көбейтінді ережесі бойынша, 30 оқушыны ағылшын, неміс және француз тілдерін оқыту үшін он-оннан үш топқа × тәсілмен бөлуге болады.

 

42. Тоғызқұмалақ ойыны турнирінде қатысушылардың әрқайсысы қалғандарымен бір-бір партия ойнап шығуы қажет еді. Турнирге қатысушылардың екеуі әрқайсысы үш-үш партия ойнағаннан кейін денсаулығына байланысты турнирден шығып қалды. Егер бұл жарыста барлығы 16 партия ойналған болса, онда басында турнирге неше ойыншы қатысқан?

Шешімі: x – турнирге қатысушылар саны болсын. Олар бір-бірімен бір партия ойнап шығуы қажет еді. Бірақ, екеуі ойыннан шығып қалды. Сондықтан турнирге x – 2 ойынша толығымен қатысты. Олар ойыннан шыққан екеуін есептемегенде бір-бірімен = партия ойнап шықты. Оған қоса ойыннан шыққан екеуі үш-үш партиядан ойнаған. Бәрі 16 партия болады.

Мұнда екі жағдайды қарау керек.

1) Ойыннан шыққан екеуі бір-бірімен ойнамаған. Онда олар 6 партия ойнады. Сондықтан + 6 = 16. Онда – 10 = 0, (x – 2)(x – 3) – 20 = 0, x ² – 5 x – 14 = 0. Осыдан x = 7.

2) Ойыннан шыққан екеуі бір-бірімен бір партия ойнайды. Онда олар бәрі 5 партия ойнайды. Осыдан + 5 = 16 немесе – 11 = 0, (x – 2)(x – 3) – 22 = 0, x ² – 5 x – 16 = 0. Бірақ бұл теңдеудің бүтін шешімі жоқ.

Сондықтан есептің жалғыз жауабы бар: x = 7.

 

43. Теңбе-теңдікті дәледеңдер:

1) + +…+ = ;

2) + 2 +…+ n = n× 2 ^{n –1};

3) – 2 +…+ (–1) ^{n –1}× n × = 0.

Шешуі. 1) S_n = + +…+ болсын.

Осы теңдікті (n + 1)-ге көбейтейік: (n + 1) S_n = + +…+ . Ал k = 0, 1,…, n үшін = = = = екенін көруге болады. Осыдан = = , = = ,…, = . Сөйтіп, (n + 1) S_n = + +…+ . Осы теңдіктің екі жағына -ді қосайық: + (n + 1) S_n = + + +…+ . Оң жақтағы қосындының мәні 2 ^{n +1}-не тең (оқулықтың 221 беті). Осыдан + (n + 1) S_n = 2 ^{n +1}. Ал = 1. Онда S_n = .

2) S_n = + 2 +…+ n × болсын. Енді k = 1,…, n саны үшін k × = k × = n × = n × = n × . Осыдан S_n = 1× + 2 +…+ n × = n × + n × +…+ n × = n ×( + +…+ ) = n ×2 ^{n –1}.

3) Алдыңғы есепте k × = n × екені көрсетілген. Сондықтан 1× – 2 +…+ (–1) ^{n –1}× n × = n × – n × +…+ (–1) ^{n –1}× n × = n ×( – +…+ (–1) ^{n –1}× ) = n ×0 = 0, өйткені – +…+ (–1) ^{n –1}× = 0.

 

44. Қосындыны анықтаңдар:

1) + 2 + 2² +…+ 2 ⁿ ;

2) + + +…;

3) + + +….

Шешімі. 1) (a + b) ⁿ = aⁿb ⁰ + a^{n –1} b ¹ + a^{n –2} b ² +…+ a ⁰ bⁿ формуласында a = 1, b = 2 деп алайық. Онда (1 + 2) ⁿ = 1 ⁿ 2⁰ + 1 ^{n –1}2¹ + 1 ^{n –2}2² +…+ 1⁰2 ⁿ = 2⁰ + 2 + 2² +…+ 2 ⁿ = + 2 + 2² +…+ 2 ⁿ. Сондықтан + 2 + 2² +…+ 2 ⁿ = 3 ⁿ.

2) (a + b) ⁿ = aⁿb ⁰ + a^{n –1} b ¹ + a^{n –2} b ² +…+ a ⁰ bⁿ формуласында a = 1, b = –1 деп алайық. Онда – + – +…+ (–1) ⁿ = 0. Екіншіден + + +…+ = 2 ⁿ. Осы екі теңдікті қосса, 2( + + +…) = 2 ⁿ шығады. Осыдан + + +… = 2 ^{n –1}.

3) 2-есепте – + – +…+ (–1) ⁿ = 0 екені көрсетілген. Онда + + +…= + + +… Сондықтан + + +… = 2 ^{n –1}.

 

45. Теңдеуді шешіңіздер:

1) ; 2) .

Шешімі: теңдеуінен + = 11 шығады. Теңдеудің сол жағына = + теңдігін қолданайық. Онда = 11 . Осыдан = немесе = , = , (x – 1)(x – 2) = 11×12. Осыдан x = 13.