Моменттер, асимметрия және экцесс 4 страница

2) теңдеуінен – = 11 шығады. Осыдан = 12 , = , = . Онда x + 1 = 36, x = 35.

46. Егер жиналысқа 78 адам қатысса, неше әдіс арқылы призидиумға 2 адам таңдауға болады.

Шешімі: = 78! / 76!2! ═ 78!•77•78 / 76! •2 ═ 3003

47. Егер = 21 болса, х-?

Шешімі: = (х-2)! / (х-4)!2! = (х-4)!(х-3)(х-2) / (х-4)!2 = (х-3)(х-2)/ 2=21

(х-3)(х-2)/ 2=21

(х-3)(х-2)=42

х²-5х-36=0

х_1/2= 5 +- 169 / 2= 5+-13 / 2

х₁=9, х₂= -4.

48. ()² + ()² + ()² +…+ ()² = теңдігі орындалатынын дәлелдеңіздер.

Шешуі: Ньютон биномы формуласы бойынша, (1 + x)² ⁿ = + x + x ²+ … + x ² ⁿ. Бұл қосындыда xⁿ дәрежесінің коэффициенті A_n = болады.

Ал (1 + x) ⁿ = + x + x ²+ … + xⁿ. Сондықтан (1 + x)^{2 n} = (1 + x) ⁿ ×(1 + x) ⁿ = ( + x + x ²+ … + xⁿ)( + x + x ²+ … + xⁿ). Соңғы көбейтіндіде xⁿ дәрежесі бірінші жақшадан xⁱ дәрежесі мен екінші жақшадан x^n–i дәрежесінің көбейтінділерінің қосындысы болады,

i = 0, 1, 2, …, n. Атап айтқанда, мұнда xⁿ дәрежесінің коэффициенті A_n = + + + … + . Ал = . Сондықтан A_n = + + + … + = ()² + ()² + ()² +…+ ()². Сөйтіп, ()² + ()² + ()² +…+ ()² = .

49. 20-дан аспайтын бір сан таңдалды. Бұл санның: 1) 5-ке бөлінетін; 2) 3-ке бөлінетін; 3) жай сан; 4) құрама сан болуының ықтималдығы қандай?

Шешім і: 20-дан аспайтын сандар саны, n=20: 1, 2, …, 20. Бұл барлық мүмкіндіктер саны.

1) 20-дан аспайтын және 5-ке бөлінетін сандар саны,

мұндағы - х санының бүтін бөлігі, мысалы, [4]=4,

Сондықтан мүмкіндіктер саны m=4. Классикалық ықтималдық теориясы бойынша кездейсоқ алынған 20-дан аспайтын және 5-ке бөлінетін санның болу ықтималдығы

2) 20-дан аспайтын және 3-ке бөлінетін сандар саны, Сондықтан мүмкіндіктер саны m=6. Классикалық ықтималдық теориясы бойынша кездейсоқ алынған 20-дан аспайтын және 3-ке бөлінетін санның болу ықтималдығы

3) 20-дан аспайтын жай сандар саны, m=8: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Сондықтан мүмкіндіктер саны m=8.Сол себепті кездейсоқ алынған 20-дан аспайтын санның жай сан болу ықтималдығы

4) 20-дан аспайтын құрама сандардың саны m=11.Сондықтанкездейсоқ алынған 20-дан аспайтын санның құрама сан болу ықтималдығы

50. Қорапта 5 ақ және 6 қара шар бар. Қораптан алынған шар ақ болды және оны шетке қойып койды. Қораптан кездейсоқ алынған екінші шардың ақ болу ықтималдылығы қандай?

Шешімі: Қораптан ақ шарды алғаннан кейін онда 4 ақ және 6 қара шар калды. Жалпы n=10 шар. Бұл барлық шешімдердің саны.

Қораптан ақ шарды m=4амалымен алуға болады. Бұл мүмкіндіктер саны. Сондықтан кездейсоқ алынған екінші шардың ақ болу ықтималдылығы

-ке тең.

51. Тиын 3 рет лақтырылды. Елтаңба жағымен кем дегенде 2 рет түсу ықтималдылығы қандай?

Шешімі: А_і– і-ші ретте елтаңба жағының түскенін білдірсін, і=1, 2, 3. Сонда Р(А_і)=0,5.

А₁А₂₊А₁А₃₊А₂А₃ – тиынды 3 рет лақтырғанда елтаңба жағымен кем дегенде 2 рет түсу ықтималдылығы.

Қосындылар ережесі бойынша Р(А₁А₂+А₁А₃+А₂А₃)=Р(А₁А₂)+ Р(А₁А₃)+Р(А₂А₃)- Р[(А₁А₂)(А₁А₃)]- Р[(А₁А₂)(А₂А₃)]- Р[(А₁А₃)(А₂А₃)]+ Р[(А₁А₂)(А₁А₃)(А₂А₃)]= Р(А₁) Р(А₂)+ Р(А₁) Р(А₃)+ Р(А₂) Р(А₃)- Р(А₁А₂А₃)- Р(А₁А₂А₃)-Р(А₁А₂А₃)+Р(А₁А₂А₃)=0,5*0,5+0,5*0,5+0,5*0,5-0,5*0,5*0,5-0,5*0,5*0,5-0,5*0,5*0,5+0,5*0,5*0,5=3*0,5*0,5-2*0,5*0,5*0,5=3*0,25-2*0,125=0,75-0,25=0,5.

52. Егер цех өнімдерінің 1%-і жарамсыз болса, онда цех өнімінің 1000 данасы арасында орта есеппен нешеуі жарамсыз өнім болуы мүмкін.

Шешімі: Есептің шарты бойынша өнімнің бір данасы жарамсыз болу ықтималдығы Р=0,01. Барлық мүмкін нәтижелер санын n=1000 деп аламыз. Біз m арқылы қажетті нәтижені белгілейік. Сонда ықтималдықтың анықтамасы бойынша P=m/n. P=0,01 болғандықтан m/1000=0,01 m=10 шығды.

Жауабы: m=10.

53. Кездейсоқ алынған екі таңбалы санының жай сан болуы және оның цифрларының қосындысы 5-ке еселік болуы ықтималдығы қандай?

Шешімі: Кездейсоқ алынған екі таңбалы санының жай сан болуы және оның цифрларының қосындысы 5-ке еселік болуының қажетті шарты n=90. Жай сандар m=6 деп белгілейміз. Бұл 19, 23, 37, 41, 73, 91 сандары. Сондықтан, кездейсоқ алынған екі таңбалы санының жай сан болуы және оның цифрларының қосындысы 5-ке еселік болуының ықтималдығы P=m/n=6/90=1/15.

Жауабы: P=1/15.

54. Кездейсоқ алынған екі таңбалы санды 8-ге бөлгенде 1-ге қалдық қалуы ықтималдығы қандай?

Шешімі: екі таңбалы сандар үшін қажетті шарт 90. 8-ге бөлгенде 1 қалдық қалатын сандарды жазамыз.

2*8+1=17, 3*8+1=25, 4*8+1=33, 5*8+1=41, 6*8+1=49, 7*8+1=57, 8*8+1=65, 9*8+1=73, 10*8+1=81, 11*8+1=89, 12*8+1=97.

Бұл сандарды m=11 деп аламыз. Қажетті нәтиже беретін сандар. Кездейсоқ алынған екі таңбалы санды 8-ге бөлгенде 1-ге тең қалдық қалатын сандар болу ытималдығы P=m/n=11/90.

Жауабы:P=11/90.

55. РОТОР сөзінің әрбір әрпі жеке-жеке парақтарға жазылған. Олардан кездейсоқ үш әрпі алынды. Алынған әріптерден ТОР сөзін құрастыру ықтималдығы қандай?

Шешімі: РОТОР сөзінде 5 әріп бар. Сондықтан әр парақтан 3-ін 10 тәсілмен таңдап аламыз. Бұл қажетті нәтиже беретін сандар. ТОР сөзін құрау үшін парақтардан ”Т”,”О”,”Р” әріптерін кез келген ретте аламыз. ”Т” әрпі бар парақ бір ғана тәсілмен алынады. “О” мен “Р” әріптері бар парақтар екі тәсілмен алынады. Көбейту ережесі бойынша қажетті шартқа “Т”, ”О”, ”Р” әріптерін 1*2*2= 4 тәсілмен таңдаймыз. Бұл оң нәтиже беретін сандар. Ендеше, P=m/n= 4/10=10.

Жауабы: P=0,4.

56. Ойын сүйегі үш рет лақтырылғанда түскен ұпайлардың әртүрлі болуы ықтималдығы қандай?

Шешімі: Ойын сүйегі үш рет лақтырылғанда түскен ұпайлардың әртүрлі болуы n=6³. Үш рет тастағанда (i,j,k). 1<i, k<6 ұпайлар түссін. (i,k,j) үштік санының m=A₆³ оң мүмкін қажетті мәндері, сондықтан P=A₆³/6³=4*5*6/6³=5/9.

Жауабы: 5/9.

57. Қалтада 4 ақ және 2 қызыл түсті астықтар бар. Одан кездейсоқ алынған екі асықтың әр түрлі болу ықтималдығы қандай?

Шешімі: қалтада 2+4=6 асық бар. Оның екеуін n=C₆²=15 тәсілмен аламыз. Бұл барлық оң нәтиже беретін сандар. 4 ақ асықтан 1 асықты 4 тәсілмен, ал қызыл асықты 2 тәсілмен таңдаймыз. Көбейту ережесі бойынша, екі әртүрлі түстен m=4*2=8 тәсілмен таңдаймыз. Одан кездейсоқ алынған екі асықтың әр түрлі болу ықтималдығы P=8/15 екені шығады.

Жауабы: 8/15.

58. Ұзындықтары 2, 5, 6 және 10-ға тең кесінділерден кездейсоқ үшеуі алынды. Алынған кесінділерден үшбұрыш құрастыру ықтималдығы қандай?

Шешімі: төрт кесіндіден 3-еуін n=C₄³=4 әдісі бойынша: (2,5,6), (2,5,10), (2,6,10), (5,6,10). Бұл барлық мүмкін жағдайлар саны. Осы жағдайлардан үшбұрышты 2 (2, 5, 6) және (5, 6, 10) үштігінен құруға болады. Бұл оң нәтиже беретін жағдайлар саны. Сондықтан, таңдалған кесінділерден үшбұрыш құрастыру ықтималдығы P=2/4=1/2.

Жауабы: 1/2.

59. Ойын сүйегі үш рет тасталғанда түскен ұпайлар саны тең болсын. Онда n=11 және n=12 оқиғаларының қайсысының ықтималдығы нақты болуы мүмкін?

Шешімі: Ойын сүйегін үш рет тастағандағы кездейсоқ оқиғалар жиыны 6³ =216 оқиғадан құралады. Бұл барлық мүмкін жағдайлар саны. n=11 саны 1-ден 6-ға дейін үш санның кез келген реттегі қосындысын 6 тәсілмен көрсетуге болады: 1+4+6, 1+5+5, 2+3+6, 2+4+5, 3+3+5, 3+4+4. Әр қосындыда қосылғыштардың орнын ауыстыруға болады:

1+4+6, 1+6+4, 4+1+6, 4+6+1, 6+1+4, 6+4+1;

1+5+5, 5+1+5, 5+5+1;

2+3+6, 2+6+3, 3+2+6, 3+6+2, 6+2+3, 6+3+2;

2+4+5, 2+5+4, 4+2+5, 4+5+2, 5+2+4, 5+4+2;

3+3+5, 3+5+3, 5+3+3;

3+4+4, 4+3+4, 4+4+3.

Барлығы 27 тәсіл. Сондықтан ойын сүйегін үш рет лақтырғанда түскен ұпайлар саны n=11 ықтималдығы P₁₁=27/216=1/8.

n=12 саны 1-ден 6-ға дейінгі кез келген реттегі үш санның қосындысы 6 тәсілмен көрсетуге болады: 1+5+6, 2+4+6, 2+5+5, 3+3+6, 3+4+5, 4+4+4. Орындарын ауыстырып көрсетуге болады:

1+5+6, 1+6+5, 5+1+6, 5+6+1, 6+1+5, 6+5+1;

2+4+6, 2+6+4, 4+2+6, 4+6+2, 6+2+4, 6+4+2;

2+5+5, 5+2+5, 5+5+2;

3+3+6, 3+6+3, 6+3+3;

3+4+5, 3+5+4, 4+3+5, 4+5+3, 5+3+4, 5+4+3;

4+4+4.

Барлығы 25 тәсіл. Ойын сүйегін үш рет тастағанда түскен ұпайлар саны n=12 болу ықтималдығы P₁₂=25/216. Біз ойын сүйектерін үш рет лақтырғанда n=11 қосындысы n=12 қоындыларынан артық екенін көреміз: P₁₁>P₁₂.

60. Қалтадағы 10 асықтың ішінен 2 көк түсті асық алып шығу ықтималдығы 2/15-ге тең деп алып, қалтада неше көк асық бар екенін анықтаңыз.

Шешімі: х – асықтар саны. 10 асықтан 2 асықты C₁₀² тәсілмен алуға болады. Бұл барлық мүмкін нәтижелер саны. х көк асықтан 2 асықты C_x² тәсілмен алуға болады. Бұл оң нәтижелер саны. классикалық ықтималдықтардың анықтамасы бойынша қалтадан екі көк асық алып шығу ықтималдығы P=C_x²/C₁₀². Екінші жағынан P=2/15 онда C_x²/C₁₀²=2/15 немесе осыдан х(х-1)=12, яғни х=4.

61. {1, 2,..., n} жиыннан кезекпен, кездейсоқ n₁ және n₂ сандары алынды. P(n₁<n₂) ықтималдығын табыңыз.

Шешімі: Жиыннан екі санды тәсілмен таңдап аламыз. Бұл барлық мүмкін нәтижелер саны. Енді қажетті шартты алайық, бірінші сан n_1.

Егер n₁=1 онда n₂(n-1) тәсілмен,

n₁=2 oнда n₂ (n-2) тәсілмен,

n₁=3онда n₂ (n-3) тәсілмен т.с.с.

қосындылар ережесі бойынша n₂ үшін (n-1)+(n-2)+…+1=n(n-1)/2=C_n² тәсілмен анықталады. Бұл қажетті нәтиже. Сондықтан P(n₁<n₂)=C_n²/A_n²=0,5.

62. Тоғыз қабатты үйдің бірінші қабатында лифтке 5 адам отырды. Оладың екінші қабаттан бастап үйдің кез келген қабатынан шығу мүмкіндіктері бірдей деп алып, жолаушылардың: 1) барлығы бір қабатта; 2) барлығы 7-ші қабатта; 3) әрқайсысы әр түрлі қабаттарда шығу ықтималдықтарын табыңдар.

Шешімі:

1) 8 қабаттан 5 адамның 8 тәсілмен шығуын қарастырайық. Бұл қажетті нәтиже. Сондықтан барлық 5 адамның бір қабатта болу ықтималдығы 8/8⁵=1/8⁴;

2) Барлық бес адам 7-ші қабаттан бір тәсілмен шыға алады. Сондықтан, барлық 5 адамның 7-ші қабаттан шығу ықтималдығы 1/8⁵;

3) 5 адам әр қабаттан А₈⁵ тәсілмен шыға алады. Бұл мүмкін оң нәтижелер. Сондықтан барлық 5 адамның әр қабатта шығу ықтималдығы А₈⁵/8⁵=0,205.

63. 3 адам бір қабатта немесе 2 басқа да қабатта шығу ықтималдығын алдындағы есептің берілгеніне қарап табыңыз.

Шешімі: Алдыңғы есептің берілгеніндей мүмкін нәтиже саны 8⁵ тең.

5 адамның ішінен 3 мына әдіспен анықтауға болады . Әр үштік 8 қабаттың біреуінде 8 түрлі әдіспен шыға алады. Есептің шарты бойынша 5 адамның 3 бір қабатта мына әдіспен шыға алады .

Қалған 2 адам 7 қабаттың біреуінде 7 түрлі әдіспен шыға алады.

Есептің шарты бойынша, 3 адам бір қабатта, ал 2 басқа да қабатта, мына әдіспен шыға алады . Бұл қолайлы нәтижелер саны. Онда ізделіп отырған ықтималдық тең.

64. Дөңгелек үстелдің бойына кездейсоқ 6 оқушы отырды. Нақты белгіленген оқушылардың бірге отыру ықтималдығы қандай?

Шешімі: Домалақ үстелдің бойына 6 оқушыны 5! түрлі әдіспен отырғызуға болады (915 және 939 есептерді қараңыз, 939 есепте көрсетілген n адам домалақ үстелдің бойына мына әдіспен отырғызуға болады ). Бұл алуан түрлі нәтижелер саны.

Нақтылы белгіленген 2 оқушы әрқашан бірге отырса, онда олардың екі орнын біріктіріп, бір орын деп санаймыз. Осындай жағдайда 5 адамды үстел бойына отырғызу керек. Мұндай әдістердің саны 4! (алдындағы формула ) тең. Екі нақты белгіленген адамдар қөршілес орынға 2 әдіспен отыра алады. Есептің шарты бойынша домалақ үстелдің бойынша 2 адам бірге отыруын 2∙4! әдіспен 6 адамды отырғызу керек. Бұл қолайлы нәтижелер саны.

Қорыта келгенде ізделініп отырған ықтималдық тең.

65. m саның 1-ден n -ға дейін сан аралығында n әдіспен таңдауға болады. Бұл алуан түрлі нәтижелер саны.

m саның q- ға бөлу былай жазылады:

m=i +q+r, 0≤r<q, m=1,2, …, n.

k – ең үлкені бұл сандар үшін алуан түрлі m≤n. түсінікті, мұнда [x] – х бүтін сан бөлігі. Дегенмен бұл сан 1-ден n- ға дейін, q- ға r қалдығын бөлу кезінде, k+ 1 тең: i+q+r, i =0,..., k. Бұл сан қолайлы нәтижелер саны. Сондықтан m натурал санға q бөлген кезде қалдық r қалады, ықтималдығы тең.

Енді шегін табамыз . болғандықтан, онда , . Осыдан , r мен q тұрақты болғандықтан.

66. Алдыңғы есептің берілгеніне сәйкес m саны толық квадрат болу ықтималдығы. Осы ықтималдықтың шегін табыңыз егер .

Шешімі:

1-ден n -ға дейін санды n әдіспен таңдауға болады. Бұл алуан түрлі нәтижелер саны.

m саны толық квадрат, егер - бүтін сан, демек егер m саны q:m=q² бүтін санның квадраты болса.

алсақ. Онда k²≤n және (k+ 1)²> n. Бұл k – ең үлкен сан, оның квадраты n санынан аспайды. Сондықтан квадраты n санынан аспайтың сандардың саны тең. Бұл қолайлы нәтижелер саны. Солай келгенде 1-ден n- ға дейін алынған сандар, толық квадраты болып табылатын кездейсоқ шама ықтималдығы тең.

Енді шегін табайық . түсінікті. Онда . Осыдан . Сондықтан .

67. Шахмат тақтасының 2 торына 2 түсті ладья қойылған. Осы екі ладья бірін-бірі соқпау ықтималдығы қандай?

Шешімі:

Шахмат тақтасына бір ладьяны 64, екінші ладьяны қалған торға 63 әдіспен қоюға болады. Есептің шарты бойынша шахмат тақтасына екі ладьяны әдісімен қоюға болады (орналастыру саны қайталанбайды). Бұл алуан түрлі нәтижелер саны.