Онда A 2 – 2-ге, A 5 – 5-ке, A 7 – 7-ге бөлінетін үш таңбалы сандардың жиындары болады.
Ал, 
, 
, 
– 2-ге, A 5 – 5-ке, A 7 – 7-ге бөлінбейтін үш таңбалы сандардың жиындары болады.
A 2Ç A 5Ç A 7 – әрі 2-ге, әрі 5-ке және әрі 7-ге бөлінетін үш таңбалы сандардың жиыны болады. Сан әрі 2-ге, әрі 5-ке және әрі 7-ге бөлінеді сонда, тек сонда ғана ол 70-ке бөлінеді. 70-ке бөлінетін үш таңбалы сандардың саны 13 болады: 2×70, 3×70,..., 14×70. Сондықтан, n (A 2Ç A 5Ç A 7) = 13.
A 2Ç A 5Ç – 2-ге және 5-ке бөлінетін, бірақ 7-ге бөлінбейтін үш таңбалы сандардың жиыны болады. Осы жиындағы сандардың санын табу үшін A 2Ç A 5 жиынын қарайық. Бұл 2-ге және 5-ке бөлінетін үш таңбалы сандардың жиыны болады. Сан әрі 2-ге, әрі 5-ке бөлінеді сонда, тек сонда ғана ол 10-ға бөлінеді. 10-ға бөлінетін үш таңбалы сандардың саны 90 болады: 10×10, 11×10,..., 99×10. Сондықтан, n (A 2Ç A 5) = 90. Енді осы саннан n (A 2Ç A 5Ç A 7) = 13 санын алып тастау керек, A 2Ç A 5 жиынының 7-ге бөлінетін сандарының санын. Сонымен n (A 2Ç A 5Ç ) = 90 – 13 = 77.
A 2Ç Ç A 7 – 2-ге және 7-ге бөлінетін, бірақ 5-ке бөлінбейтін үш таңбалы сандардың жиыны болады. Осы жиындағы сандардың санын табу үшін A 2Ç A 7 жиынын қарайық. Бұл 2-ге және 7-ге бөлінетін үш таңбалы сандардың жиыны болады. Сан әрі 2-ге, әрі 7-ге бөлінеді сонда, тек сонда ғана ол 14-ке бөлінеді. 14-ке бөлінетін үш таңбалы сандардың саны 64 болады: 8×14, 9×14,..., 71×14. Сондықтан, n (A 2Ç A 7) = 64. Енді осы саннан n (A 2Ç A 5Ç A 7) = 13 санын алып тастау керек, A 2Ç A 7 жиынының 5-ке бөлінетін сандарының санын. Сонымен n (A 2Ç Ç A 7) = 64 – 13 = 51.
Ç A 5Ç A 7 – 5-ке және 7-ге бөлінетін, бірақ 2-ге бөлінбейтін үш таңбалы сандардың жиыны болады. Осы жиындағы сандардың санын табу үшін A 5Ç A 7 жиынын қарайық. Бұл 5-ке және 7-ге бөлінетін үш таңбалы сандардың жиыны болады. Сан әрі 5-ке, әрі 7-ге бөлінеді сонда, тек сонда ғана ол 35-ке бөлінеді. 35-ке бөлінетін үш таңбалы сандардың саны 26 болады: 3×35, 4×35,..., 28×35. Сондықтан n (A 5Ç A 7) = 26. Енді осы саннан n (A 2Ç A 5Ç A 7) = 13 санын алып тастау керек, A 2Ç A 7 жиынының 5-ке бөлінетін сандарының санын. Сонымен n ( Ç A 5Ç A 7) = 26 – 13 = 13.
Ал (A 2Ç A 5Ç )È(A 2Ç Ç A 7)È( Ç A 5Ç A 7) – 2, 5 және 7 сандарының тек екеуіне ғана бөлінетін және үшіншісіне бөлінбейтін үш таңбалы натурал сандардың жиыны болады. Ол қиылыспайтын үш жиынның бірігуі болады. Қосынды ережесі бойынша, n [(A 2Ç A 5Ç )È(A 2Ç Ç A 7)È( Ç A 5Ç A 7)] = n (A 2Ç A 5Ç ) + n (A 2Ç Ç A 7) + n ( Ç A 5Ç A 7) = 77 + 51+ 13 = 141.
19. Сыныптағы 35 оқушының 15-і қыз бала. Осы оқушылардан: 1) бір қыз бала мен бір ұлды; 2) екі ұлды; 3) екі қыз баланы неше тәсілмен таңдап алуға болады?
Шешімі: Оқушылардың арасында 35 – 15 = 20 ұл бар.
1) Бір қызды 15 тәсілмен, бір ұлды 20 тәсілмен таңдап алуға болады. Көбейтінді ережесі бойынша, бір қыз бала мен бір ұлды 15×20 = 300 тәсілмен таңдап алуға болады.
2) Екі ұлды 
тәсілмен таңдап алуға болады (қайталанбайтын терулер саны). Ал 
= 
= 
= 190.
3) Екі қыз баланы 
тәсілмен таңдап алуға болады (қайталанбайтын терулер саны). Ал = 
= 
= 105.
20. Шахмат тақтасынан неше түрлі тәсілмен: 1) бір ақ және бір қара түсті шаршыны; 2) бір вертикаль мен бір горизонталь орналаспайтындай етіп, бір ақ және бір қара түсті шаршыны таңдап алуға болады?
Шешімі: Шахмат тақтасында 32 ақ және 32 қара шаршы бар.
1) Бірінші түсті шаршыны 32 тәсілмен таңдап алуға болады. Екінші түсті шаршыны да 32 тәсілмен таңдап алуға болады. Көбейтінді ережесі бойынша, бір ақ және бір қара түсті шаршыны 32×32 = 1024 тәсілмен таңдап алуға болады.
2) Бірінші жүрісте бірірінші түсті шаршыны 32 тәсілмен таңдап алуға болады. Бірінші түсті шаршына таңдап алғаннан кейін, оның горизонталін және вертикалін алып тастайық. Қалған тақтада 7 горизонталь және 7 вертикаль қалады және 24 екінші түсті шаршы қалады.
Екінші жүрісте екінші түсті шаршыны 24 тәсілмен таңдап алуға болады. Сондықтан бір вертикаль мен бір горизонталь орналаспайтындай етіп, бір ақ және бір қара түсті шаршыны 32×24 = 768 тәсілмен таңдап алуға болады.
21. Сыртқы істер министрлігінің бір бөліміндегі қызметкерлердің әрқайсысы кем дегенде бір шет тілін меңгерген (ағылшын, неміс және француз тілдері). Олардың 10-ы – ағылшын, 6-уы – неміс, 4-еуі – француз, 4-еуі – әрі ағылшын, әрі неміс, 3-еуі – әрі ағылшын, әрі француз, 2-еуі – әрі неміс, әрі француз және біреуі барлық үш тілді меңгерген. Бөлімде: 1) неше қызметкер бар; 2) нешеуі тек бір тілді ғана меңгерген?
Шешімі: A – ағылшын тілін, B – неміс тілін, C – француз тілін меңгерген қызметкерлердің жиыны болсын. Онда n (A) = 10, n (B) = 6, n (C) = 4. Оған қоса әрі ағылшын, әрі неміс тілдерін меңгерген қызметкерлердің саны n (A Ç B) = 4, әрі ағылшын, әрі француз тілдерін меңгерген қызметкерлердің саны n (A Ç С) = 3, әрі неміс, әрі француз тілдерін меңгерген қызметкерлердің саны n (B Ç С) = 2, барлық үш тілді меңгерген қызметкерлердің саны n (A Ç B Ç С) = 1 болады.
Бөлімдегі барлық қызметкерлердің жиыны A È B È C болады. Қосынды ережесі бойынша, n (A È B È C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A Ç B) – n (A Ç С) – n (B Ç С) + n (A Ç B Ç С) = 10 + 6 + 4 – 4 – 3 – 2 + 1 = 12.
2) Бұл есепті Эйлер-Венн диаграммасын пайдаланып шешкен жөн. Диаграммада A, B, C жиындары үш дөңгелекпен кескінделген. Суретте A жиыны 4 бөліктен құралады: 1, 3, 4, 5 бөліктерінен; B жиыны – 2, 3, 4, 6 бөліктерінен; C жиыны – 4, 5, 6, 7 бөліктерінен.
A Ç B жиыны – 3, 4 бөліктерінен, бұл жиында 4 қызметкер бар. Ал 4-бөлігінде, A Ç B Ç С, 1 қызметкер бар. Сондықтан 3-бөлікте 4 – 1 = 3 қызметкер бар.
A Ç С жиыны – 4, 5-бөліктерден құралады; осы жиында 3 қызметкер бар. Одан үш тілді меңгерген қызметкерлерді алып тастаса (4-бөлікті), онда 5-бөлік қалады. Ондағы қызметкерлердің саны 3 – 1 = 2 болады.
Енді тек ағылшын ғана тілін меңгерген қызметкерлердің санын таба аламыз. Бұл 1 бөлігіне сәйкес. A жиынынан 3, 4, 5 бөліктерін алсып тастаса, онда 1 бөлік қалады. Сондықтан 1 бөлігінедегі қызметкерлердің саны 10 – 3 – 1 – 2 = 4. Сонымен тек ағылшын ғана тілін меңгерген қызметкерлердің саны 4-ке тең.
B Ç С жиыны – 4,6-бөліктерден құралады, мұнда 2 қызметкер бар. Одан 4-бөлікті алып тастаса, 6-бөлік қалады. Ондағы элементтердің саны 2 – 1 = 1. Тек неміс тілін ғана меңгерген қызметкерлердің жиынын 2-бөлік кескіндейді. Ондағы элементтердің санын есептеу үшін B жиындағы элементтер санынан 3, 4, 6-бөліктердегі элементтердің санын алып тастау керек: 6–3–1–1 = 1. Сондықтан тек неміс тілін меңгерген қызметкерлердің саны 1-ге тең.
Тек француз тілін меңгерген қызметкерлердің жиыны 7-бөлікпен кескінделеді. C жиыны 4, 5, 6, 7-бөліктермен кескінделеді. Одан 4, 5, 6-бөліктерді алып тастаса, онда 7-бөлік қалады. Сондықтан тек француз тілін ғана меңгерген қызметкерлердің саны 4–2–1–1=0.
Ал бір тілді ғана меңгерген қызметкерлердің саны ағылшын, неміс немесе француз тілдерінің бірін ғана меңгерген қызметкерлердің сандарынан құралады: 4+1+0=5.
22. Сыныптағы 35 оқушының арасынан старостаны, оның орынбасарын, редколлегия және спорттық жұмысқа 4 оқушыны неше түрлі тәсілмен сайлауға болады?
Шешімі: 35 оқушыдан 4 әртүрлі орынға 
= 35×34×33×32 = 12566440 тәсілмен сайлауға болады (қайталанбайтын орналастырулар саны).
23. 1) Цифрлары қайталануы мүмкін; 2) цифрлары қайталанбайтындай етіп, неше түрлі 4 таңбалы сандар құрастыруға болады?
Шешімі: Төрт таңбалы санның бірінші цифры нөлден өзге болу керек. Сондықтан төрт таңбалы санды құрастырғанда бірінші цифрды 9 тәсілмен таңдап алуға болады.
1) Егер цифрлары қайталана алса, қалған үш цифрды 
= 103 тәсілмен таңдап алуға болады (қайталанбалы орналастырулар саны). Көбейтінді ережесі бойынша, 4 таңбалы сандарды 9×103 тәсілмен құрастыруға болады.
2) Егер цифрлары қайталанбаса, онда қалған үш цифрды 
= 9×8×7 = 504 тәсілмен таңдап алуға болады (қайталанбайтын орналастырулар саны). Көбейтінді ережесі бойынша, 4 таңбалы сандарды 9×504 = 4536 тәсілмен құрастыруға болады.
24. Екінші, төртінші және алтыншы орындарда дауысты дыбыстар тұратындай етіп, логарифм сөзіндегі дыбыстарды неше түрлі тәсілмен алмастыруға болады?
Шешімі: Логарифм сөзінде 8 дыбыс бар. Оның арасында 3 дауысты, 5 дауыссыз дыбыс бар. 3 дауысты дыбыстарды аталған үш орында 3! тәсілмен алмастыруға болады. Қалған бес орынға 5 дауыссыз дыбыстарды 5! тәсілмен алмастыруға болады. Сондықтан екінші, төртінші және алтыншы орындарда дауысты дыбыстар тұратындай етіп, логарифм сөзіндегі дыбыстарды 3!×5! = 720 тәсілмен алмастыруға болады.
25. Егер цифрлар жазылған қағазды 180°-қа бұрсақ, онда 0, 1, 8 цифрлары өзгермейді ал 6 және 9 цифрлары бір-біріне көшеді. Қағазды 180°-қа бұрғанда өзгермейтін неше 5 таңбалы сан бар?
Шешімі: Қағазды 180°-қа бұрғанда 0, 1, 8 цифрлары өз-өзіне, ал 6 мен 9 цифрлары бір-біріне көшеді.
Бес таңбалы abcde саны қағазды 180°-қа бұрғанда a мен e цифрлары бір-біріне, b мен d цифрлары бір-біріне, ал c цифры өз-өзіне көшеді. Сондықтан бізге abc цифрларын ғана қарауға болады.
a цифры нөлден өзге болу керек. Сондықтан a цифрын 4 тәсілмен таңдап алуға болады.
b цифры 0, 1, 6, 8, 9 бола алады, сондықтан оны 5 тәсілмен таңдап алуға болады.
c цифры өз-өзіне көшу керек, онда ол 0, 1, 8 бола алады. Сондықтан оны 3 тәсілмен таңдап алуға болады.
Көбейтінді ережесі бойынша, қағазды 180°-қа бұрғанда өзгермейтін 4×5×3 = 60 бес таңбалы сан бар.
26. Жолаушылар пойызында 15 вагон бар. Белгілі бір үш жолаушыны әр түрлі вагондарға неше түрлі тәсілмен отырғызуға болады?
Шешімі: 15 вагоннан үшеуін 
тәсілмен таңдап алуға болады (қайталанбайтын терулер саны). Таңдап алған үш вагонға 3 жолаушыны 3! тәсілмен отырғызуға болады. Көбейтінді ереже бойынша, үш жолаушыны әр түрлі вагондарға 3!× түрлі тәсілмен отырғызуға болады.
27. Баскетбол ойынынан жарысқа қатысу үшін жаттықтырушы 14 баланың ішінен құрамында 5 ойыншысы бар команда құрастырды. Егер екі бала командаға міндетті түрде алынатыны белгілі болса, онда жаттықтырушы команданы неше түрлі тәсілмен құрастыра алады?
Шешімі: Екі бала командаға міндетті түрде алынатыны белгілі. Сондықтан командаға 3 ойыншыны таңдап алу керек. 12 баладан 3 баланы 
= 220 тәсілмен таңдап алуға болады (қайталанбайтын терулер саны).
28. n параллель түзу өткізуге m параллель түзумен қиылысады. Осының нәтижесінде неше параллелограмм пайда болады?
Шешімі: n параллель түзудің екеуі параллелограмның қарама-қарсы қабырғаларын құрады. n параллель түзуден екі түзуді 
тәсілмен таңдап алуға болады. Параллелограмның екі қарама қарсы қабырғасын таңдап алғаннан кейін m параллель түзудің екеуі басқа екі қарама қарсы қабырғасын құрады. m параллель түзуден екі түзуді 
тәсілмен таңдап алуға болады. Көбейтінді ережесі бойынша, 
× параллелограмм пайда болады.
29. Кітап сөресінде математикадан 8 кітап және физикадан 5 кітап орналасқан. Осыдан 3 математика және 2 физика кітаптарын неше түрлі тәсілмен алуға болады?
Шешімі: Математикадан 8 кітаптан 3 кітапты 
тәсілмен таңдап алуға болады. Физикадан 5 кітаптан 2 кітапты 
тәсілмен алуға болады (қайталанбайтын терулер саны). Көбейтінді ережесі бойынша, 3 математика және 2 физика кітаптарын × = 560 тәсілмен таңдап алуға болады.
30. Әрқайсысында 3 адамнан кем болмайтындай етіп, 8 адамды екі жеңіл автокөлікке неше түрлі тәсілмен отырғызуға болады?
Шешімі: Бірінші көлікке 3, 4, 5 адамды отырғызуға болады. Одан қалғандары екінші көлікке отырады. 3 адаман 1-көлікке тәсілмен отырғызуға болады, 4 адаман 1-көлікке 
тәсілмен отырғызуға болады, 5 адаман 1-көлікке 
тәсілмен отырғызуға болады (қайталанбайтын терулер саны). Нәтижесінде 3 адамнан кем болмайтындай етіп, 8 адамды екі жеңіл автокөлікке + + = 126 тәсілмен отырғызуға болады.
31. Логарифм сөзінің құрамынан екі дауыссыз және бір дауысты дыбыстарды неше түрлі тәсілмен таңдап алуға болады?
Шешімі: Логарифм сөзінде 3 дауысты дыбыс бар. Олардан екеуін 
= 3 тәсілмен таңдап алуға болады, 5 дауыссыз дыбыстан біреуін 5 тәсілмен таңдап алуға болады. Көбейтінді ережесі бойынша, логарифм сөзінің құрамынан екі дауыссыз және бір дауысты дыбыстарды 3×5 = 15 тәсілмен таңдап алуға болады.
32. 0, 4, 5 цифрларының көмегімен 104 санынан кіші неше түрлі жұп сандарды жазып шығуға болады?
Шешімі: A – 0, 4, 5 цифрларының көмегімен 104 санынан кіші жазып шығуға болатын жұп сандардың жиыны болсын. A -да бір таңбалы, екі таңбалы, үш таңбалы немесе төрт таңбалы сандар бола алады.
Осы цифрлар көмегімен жазылатын жұп санның соңғы цифры 0 немесе 4 бола алады. Сондықтан A жиынының санын жазғанда соңғы цифрды 2 тәсілмен жазуға болады.
Осы цифрлар көмегімен жазылатын бір таңбалы екі жүп сан бар: 0, 4.
Осы цифрлар көмегімен жазылатын екі таңбалы жұп санның соңғы цифры 0 немесе 4 бола алады, ал бірінші цифры 4 немесе 5 бола алады. Сондықтан осы цифрлар көмегімен жазылатын екі таңбалы жұп сандардың саны 2×2 = 4 болады.
Осы цифрлар көмегімен жазылатын үш таңбалы жұп санның соңғы цифры 0 немесе 4 бола алады, ал бірінші цифры 4 немесе 5 бола алады, екінші цифры 0, 4, 5 бола алады. Сондықтан осы цифрлар көмегімен жазылатын екі таңбалы жұп сандардың саны 2×3×2 = 12 болады.
Осы цифрлар көмегімен жазылатын төрт таңбалы жұп санның соңғы цифры 0 немесе 4 бола алады, ал бірінші цифры 4 немесе 5 бола алады, екінші және үшінші цифрлары 0, 4, 5 бола алады. Сондықтан осы цифрлар көмегімен жазылатын екі таңбалы жүп сандардың саны 2×3×3×2 = 36 болады.
Қосынды ережесі бойынша, A -да 2 + 4 + 12 + 36 = 54 сан бар.
33. Сыныпта 35 оқушы бар. Староста директордың орынбасарына мектепте өткен спорттық ойындар жарысында сынып оқушылдарының қатысуы жөнінде мынадай ақпарат берді: 16 оқушы футбол, 15 оқушы волейбол, 14 оқушы баскетбол, 4 оқушы әрі футбол, әрі волейбол, 3 оқушы әрі волейбол, әрі баскетбол, 3 оқушы әрі футбол, әрі баскетбол және 2 оқушы жарыстың барлық түрлеріне қатысты. Директордың орынбасары берілген ақпаратты неге жарамсыз деп тапты?
Шешімі: A футбол жарысына, B волейбол жарысына, C баскетбол жарысына қатысқан оқушылардың жиыны болсын. Онда n (A) = 16, n (B) = 15, n (C) = 14.
Әрі футбол, әрі волейбол жарыстарына қатысқан оқушылардың саны n (A Ç B) = 4.
Әрі волейбол, әрі баскетбол жарыстарына қатысқан оқушылардың саны n (B Ç C) = 3.
Әрі футбол, әрі баскетбол жарыстарына қатысқан оқушылардың саны n (A Ç C) = 3.
Жарыстың барлық түрлеріне қатысқан оқушылардың саны n (A Ç B Ç C) = 2.
Бір жағынан, жарысқа сыныптың барлық оқушысы қатысты n (A È B È C) = 35.
Екінші жағынан, қосынды ереже бойынша, n (A È B È C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A Ç B) – n (A Ç C) – n (A Ç C) + n (A Ç B Ç C) = 16 + 15 + 14 – 4 – 3 – 3 + 2 = 27. Сондықтан директордың орынбасарына берілген ақпарат жарамсыз болады.
34. Сыныптағы оқушылардың әрқайсысы не қыз бала, не бойлары 165 сантиметрден аласа, не математиканы жақсы біледі. Сыныптағы 18 қыз баланың 14-нің бойлары 165 см-ден аласа. Жалпы 165 см-ден аласа 22 оқушы бар және олардың 12-сі математиканы жақсы көреді. Сыныпта математиканы жақсы көретін 18 оқушының 8-і қыз бала. Бойлары 165 см-ден артық емес қыз балалардың алтауы математиканы жақсы көреді. Сыныпта неше оқушы бар?
Шешімі: A – сыныптағы қыз балардың жиыны, B – бойлары 165 сантиметрден аласа оқушылардың жиыны және C – математиканы жақсы білетін оқушылардың жиыны болсын. Онда сыныптағы барлық оқшылардың саны n (A È B È C) болады. Берілгені бойынша, n (A) = 18, n (B) = 22, n (C) = 18.
Бойлары 165 см-ден аласа қыз балалардың саны n (A Ç B) = 14.
Бойлары 165 сантиметрден аласа және математиканы жақсы көретін оқушылардың саны n (B Ç C) = 12.
Математиканы жақсы көретін қыз балалардың саны n (A Ç C) = 8.
Бойлары 165 см-ден артық емес және математиканы жақсы көретін қыз балалардың саны n (A Ç B Ç C) = 2.
Қосынды ережесі бойынша, n (A È B È C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A Ç B) – n (A Ç C) – n (B Ç C) + n (A Ç B Ç C) = 18 + 22 + 18 – 14 – 12 – 8 + 6 = 30.
