Толық ықтималдықтың формуласы

Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларының салдары ретінде толық ықтималдықтың формуласы деп аталатын формуланы келтіріп шығарайық.

оқиғалары толық жиын құратын, өзара үйлесімсіз оқиғалар болсын(гипотезалар) болсын. А оқиғасы осы оқиғалардың біреуі пайда болғанда ғана шартты түрде пайда болсын. Осы оқиғасының ықтималдығын табу қажет.

Теорема. Толық жиын құратын, өзара үйлесімсіз оқиғаларының (гипотезаларының) біреуі пайда болғанда ғана шартты түрде пайда болатын А оқиғасының ықтималдығы осы оқиғалардың әрбіреуінің ықтималдығын А-ның оларға сәйкес шартты ықтималдығына көбейтіп қосқанға тең:

 

 

Бұл формула толық ықтималдық формуласы деп аталады. Мұндағы

 

Дәлелдеу. Шарт бойынша

және .

оқиғалары үйлесімсіз болғандықтан оқиғалары да үйлесімсіз болады. Онда ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары бойынша

 

 

Осы дәлелдеу талап етілген еді.

1 мысал. Екі жәшік бар, оның біріншісінде а-ақ, в-қара, екіншісінде с – ақ, d – қара шар болсын. Бірінші жәшіктен екіншіге таңдамай үш шар салынған (), шарлар мұқият араластырылғаннан кейін екінші жәшіктен бір шар алынады. Соңғы шардың ақ түсті болу ықтималдығы қандай?

Шешімі: А – екінші жәшіктен алынған шардың түсі ақ. Мынадай екі болжам (гипотеза) жасаймыз; екіншіден соңғы алынған шар 2 – жәшікке тиісті. Олардың ықтималдықтары:

 

.

 

Екіншіден, алынған шар 1 – жәшікке тиісті болса, онда оның ақ түсті болу шартты ықтималдығы:

Екіншіден алынған шар 2 – жәшікке тиісті болса, онда оның ақ түсті болу шартты ықтималдығы мынаған тең:

 

.

Ізделінді ықтималдық толық ықтималдық формуласы бойынша мынаған тең:

 

.

2 мысал. Бидай дәндерінің сапасын тексеру кезінде оларды, сапасына байланысты 3 топқа бөлуге болатыны анықталды. Бірінші топқа барлық дәннің 95 пайызы, екіншіге 3 пайызы, үшіншіге 2 пайызы жатады. Бірінші тонқа жататын тұқымдық дәннен, дәні 50 ден кем болмайтын масақ өсіп шығу ықтималдығы 0,6-ға тең, ал осы ықтималдық екінші топ үшін 0,2; үшінші топ үшін 0,05 болсын. Тәуекелге алынған дәннен 50 ден кем емес дәні бар масақ өсіп шығу ықтималдығы неге тең?

Шешімі: А – алынған дәннің ішінде 50ден кем емес дәні болатын масақ өсіп шығады. Мынадай болжам жасаймыз:

B₁ – алынған дән 1 топқа жатады; B₂ - алынған дән 2 топтан; B₃ - алынған дән 3 топтан. Олардың ықтималдығы сәйкес

P(B₁) = 0,95; P(B₂) = 0,03; P(B₃) = 0,02.

Алынған дән бірінші топтан болғанда, одан дәні 50 ден кем емес масақ өсіп шығуының шартты ықтималдығы P_B1(A)=0.6 Дән екінші топтан болғандағы А оқиғасының шартты ықтималдығы P_B2(A)=0,2, ал үшінші топ дәні үшін осындай шартты ықтималдық P_B3(A)=0,05 болады.

Ізделінді ықтималдық:

 

P(A)= P(B₁)* P_B1(A)+ P(B₂) *P_B2(A)+ P(B₃)* P_B3(A)=

 

0,95*0,6+0,03*0,2+0,02*0,05=0,577.

 

Байес формуласы

 

Ықтималдықтарды көбейту теоремасы және толық ықтималдықтық формуласының салдары ретінде Бейес формуласы деп аталатын формуланы келтіріп шығарайық.

Толық жиын құратын өзара үйлесімсіз H₁ ,H₂,…,H_n оқиғалары берілген. H₁ ,H₂,…,H_n оқиғалар болжам, гипотеза деп те аталады. Бұл гипотезалардың тәжірибеге дейінгі ықтималдықтары белгілі болып, олар сәйкес сандарына тең болсын. Тәжірибе жүргізіліп, оның нәтижесінде қандай да А оқиғасы жүзеге асты делік. А оқиғасының пайда болуына байланысты болжам ықтималдықтары қалай өзгереді, соны қарастырайық.

Басқаша айтқанда: ,

шартты ықтималдықтарды табайық.

Ықтималдықдарды көбейту теоремасы бойынша:

 

 

Бұдан ,

 

немесе

 

Мұндағы P(A)-ны толық ықтималдықтың формуласымен алмастырайық:

 

 

Бұл формула Байес формуласы деп аталады.

3 мысал. Екі атқыш бір-біріне тәуелсіз бір нысанаға әрқайсысы бір реттен атады. Бірінші атқыштың нысанаға тигізу ықтималдығы 0,8, реттен екіншісікі 0,4. Ату таусылғаннан кейін нысанада бір тесік табылған (А оқиғасы). Осы тесіктің бірінші атқышқа тиісті болу ықтималдылығын табайық.

Шешімі: Тәжірибеге дейін мынадай гипотелазалар болуы мүмкін: Н₁ ̶ бірінші атқыштікі де, екінші атқыштікі де тимейді: Н₂ ̶ екі атқыштікіде тиеді; біріншінікі тиеді, екіншінікі тимейді;

Оқиғалардың толық тобын құрайтын бір-бірімен үйлеспейтін оқиғалардың біреуі А оқиғасынан орындалатын болса. Онда А оқиғасының ықтималдығы:

формуласымен анықталады, мұнда Р(В₁А),... бір-бірімен үйлеспейтін оқиғалардың ықтималдығы теңдеулермен анықталады.

4 мысал. Складта әр заводтан келген магнитофондар бар.

№1-ден – 12, №2 – 20, №3 – 18. №1-ден келген магнитофондардың сапасы өте жоғары екендігінің ықтималдығы 0,9, №2, №3-тікі Р(В₂)=0,6 және Р(В₃)=0,9.

Складтан алынған магнитофонның сапасы өте жоғары екендігінің ықтималдығын табыңдар.

Шешуі: А-ден алынған заттың сапасы өте жоғары екендігінің оқиғасы. - №1, №2, №3 заводтарындағы жасалған заттар. -бір-бірімен байланыссыз оқиғалар А оқиғасының орындалуы болып саналады. () – №1 заводта жасалған магнитофонның сапасы өте жоғары екендігін көрсетеді):

Р()=Р()·Р_в(А), Р()=Р()·Р_в(А), Р()=Р()·Р_в(А).

 

Жауабы: Р(А)=0,78.