к-ретті алғашқы момент Х-дискретті кездейсоқ шама үшін
ал үздіксіз кездейсоқ шама үшін
формулаларымен анықталады.
Сонда 
болады, оны 
деп белгілейміз.
к-ретті центрлік момент Х дискретті кездейсоқ шама үшін
ал, үздіксіз кездейсоқ шама үшін
формуласымен анықталады. Сонда 
болады.
Алғашқы және центрлік моменттердің арасында мынадай байланыстар бар:
,
Егер кездейсоқ шама 
байланысты симметриялы үлестірілсе, онда 
.
қатынасын асимметрия, ал 
тендігімен анықталатын шаманы экцесс деп атайды (
- орташа квадраттық ауытқу).
Лкен сандар заңы
Чебышев теоремасы. Егер қос-қостан тәуелсіз n кездейсоқ шамалардың әрбіреуінің математикалық күтімі бірдей 
санына тең болса және олардың дисперсиясы бір тұрақты С санымен шектелсе, онда оң таңбалы тұрақты аз сан 
қандай болсын 
жағдайда олардың арифметикалық ортасы тұрақты -ға 
ұмтылуы ықтималдығын бірге жуық сенімділікпен мақұлдаймыз, яғни
Бұл формула
Чебышев теңсіздігінен алынады.
Бернулли теоремасы. Егер әрбір тәуелсіз сынауда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты р тең болса, онда сынау саны n мейлінше үлкен болғанда () А – оқиғасының салыстырмалы жиілігі 
ықтималдың р-ден қандай да бір оң таңбалы аз сан -нен үлкен болмауын бірге жуық ықтималдықпен мақұлдаймыз, яғни
Бұл формула
Чебышев теңсіздігінен алынады.
4 мысал. Металл тенге 1000 рет лақтырылады. «Герб» жағының шығу жиілігі оның пайда болу ықтималдығы 
-ден 0,1 санынан артық болмау ықтималдығын төменнен бағалау керек.
Шешімі: Мұнда 
формуланы пайдаланып:
Сонда «герб» жағының шығуы (400;600) интервалында жату ықтималдығы 0,975-тен көп болады екен.
5 мысал. 100 тәуелсіз сынау нәтижесінде кездейсоқ шаманың 
мәндері белгілі және оның M(x)=10, D(x)=1 болсын. Сынау нәтижесінде алынған мәндердің арифметикалық ортасы 
/100-ның математикалық күтімімен айырмашылығының абсолют шамасы - ден кіші болу ықтималдығын төменнен бағалау керек.
Шешімі: Мұнда 
(1) формуланы пайдаланып ізделінді ықтималдықтың төменнен бағалауын табамыз
6 мысал. n=5, p=1/3 болғанда ықтималдықтардың биномалдық орналасуын құрау керек.
Шешімі: Алдымен 1 кестені құрайық және есептеулердің нәтижесін бойынша графигын саламыз. m мәндері 0,1,2,3,4,5. Бернулли формуласы бойынша ықтималдықтарды есептейміз.
| m | 
|
| |
| |
| |
| |
| |
|
Pm,n 80/243
 |
0 1 2 3 4 5 m
1-сурет
1-суретте ықтималдықтардың орналасуы көп бұрыштар арқылы көрсетілген. Егер сынаулар қайталанатын болса, онда Муавр-Лаплас локальдік формуласын қолданған тиімді:
Муавр-Лаплас теоремасы. Егер сынау саны өте көп болғанда байланыссыз п сынаулардың А оқиғасының m рет пайда болуының ықтималдығы жуықтан теңдеуімен анықталады.
7 мысал. Оқтың нысанаға бір рет мылтықтан атқандағы тура тиюінің ықтималдығы Р=0,4. Енді 600 рет атқан кездегі оқтың нысанаға 250 рет тура тиюінің ықтималдығы қандай?
Шешуі.
Ескерту: φ(х)-мәні таблица бойынша анықталады. Кейбір есептерде оқиғаның белгілі бір шектер 
аралығындағы ықтималдығын табу керек. Ықтималдықтың қосу теоремасы бойынша
түрінде есептеледі. Мұндай жағдайда Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы: егер сынау саны көп болса, онда байланыссыз п сынау кезінде А оқиғасы m1 және m2 аралығында орындалатындағының ықтималдығы жуықтап:
теңдеулерімен есептелінеді.
8 мысал. 100 жаңа туған бұзаудың 45-тен 55-ке дейінгі аралықтағысы еркек бұзау екендігінің ықтималдығын табу керек. Егер еркек бұзаудың тууының ықтималдығы 0,5 болса.
Шешімі:
Ф(х) - функциясы тақ функция, сондықтан Ф(-х)= - Ф(х) болады, ал мәндерін кесте бойынша аламыз.
Егер А оқиғасының орындалатындығы m1=np-r, және m2=np+r аралығында болса, онда:
яғни 
(5)формула бойынша оқиғаның жиілігімен (m/n)ықтималдығының (р) айырымының (ауытқуының) абсолют мәні n байланыссыз сынауларда өте аз оң шамадан (ε) аспайды дегеннің ықтималдығы қандай:
.
9мысал. Дүкенге барған адамның 36 нөмерлі етік алу ықтималдығы 0,3. Енді 500 адамның қанша бөлігі 36-шы етік алады дегеннің ықтималдығы 0,3-тан ε=0,04- қана ғана ауытқуының ықтималдығы қандай?
Шешімі. 
яғни 500 сатып алушылардың белгілі бір бөлігі 0,26 және 0,34 аралығында ықтималдығы 0,9488.
10 мысал. Байланыссыз әр оқиғаның болуының ықтималдығы 0,5. Енді ықтималдығы 0,7698 болған кезде жиіліктері мен ықтималдықтың айырымының (ауытқуы) абсолют мәні 0,02-ден артпайтын кездегі сынау санын n-ді табу керек.
Шешімі:
кесте бойынша Ф(х)-мәні Ф(1,2)=0,3849, 
. 
Жауабы: n=900.
III бөлім. Есептер
1. Дүкенде шоколад кәмпиттің 6 түрі және карамельдің 10 түрі бар. Кәмпиттердің: 1) бір түрінен; 2) шоколад кәмпиттің бір түрі және карамельдің бір түрінен неше түрлі тәсілдермен кәмпиттер сатып алуға болады?
Шешуі: 1) Шоколад кәмпиттің 6 түрі және карамельдің 10 түрі бар. Онда барлық кәмпиттің 6 + 10 = 16 түрі бар. Сондықтан кәмпиттің түрін 16 тәсілмен сатып алуға болады.
Шоколад кәмпитті 6 тәсілмен, карамельді 10 тәсілмен сатып алуға болады. Көбейтінді ережесі бойынша, шоколад кәмпиттің бір түрі және карамельдің бір түрінен 6 ×10 = 60 тәсілмен сатып алуға болады.
2. Асхана мәзірінде 3 бірінші, 4 екінші және 5 үшінші тағамдар бар. Одан барлығы неше түрлі «түстік астар» құрастыруға болады?
Шешімі: Әрбір «түстік ас» бір бірінші, бір екінші және бір үшінші тағамдардан құрастырылады. Бірінші тағамды 3 тәсілмен, екінші тағамды 4 тәсілмен және үшінші тағамды 5 тәсілмен таңдап алуға болады. Көбейтінді ережесі бойынша, «түстік астарды» 3×4×5 = 60 тәсілмен құрастыруға болады.
3. Кітап сөресінде комбинаторикадан 2 кітап, ықтималдықтар теориясынан 5 кітап, алгебрадан 4 кітап, тарихтан және әдебиеттен 6 кітап қойылған. Неше түрлі тәсілмен: 1) математикадан бір кітап; 2) математикадан бір кітап немесе әдебиеттен бір кітап таңдап алуға болады?
Шешімі: Комбинаторика, ықтималдықтар теориясы және алгебра математикаға жатады. Сондықтан сөреде математикадан 2 + 5 + 4 = 11 кітап бар.
1) Сөреден математикадан бір кітапты 11 тәсілмен таңдап алуға болады. (қосынды ережесі)
2) Сөреде математикадан немесе әдебиеттен 11 + 6 = 17 кітап бар. Сондықтан математикадан немесе әдебиеттен бір кітапты 17 тәсілмен таңдап алуға болады.
4. Әрі 3-ке, әрі 4-ке бөлінетін неше екі таңбалы натурал сан бар?
Шешімі: Егер сан 3-ке, әрі 4-ке бөлінетін болса, онда ол 12-ге де бөлінеді. Сондықтан бізге 12-ге бөлінетін екі таңбалы сандардың санын табу керек. Егер натурал n саны берілсе, онда 1-ден n -ге дейін 12-ге бөлінетін сандардың саны 
болады. Мұнда [ x ] – x санының бүтін бөлігі белгіленген. Мысалы, [ 3 ] = 3, [ 3,45 ] = 3. Сондықтан 100-ден кем 12-ге бөлінетін сандардың саны 
= 8 болады. Ал 12-ге бөлінетін бір таңбалы сан жоқ, сондықтан 12-ге бөлінетін екі таңбалы сандардың саны m = 8: 1×12, 2×12,…, 8×12.
Сондықтан 12-ге бөлінетін, яғни әрі 3-ке, әрі 4-ке бөлінетін неше екі таңбалы 8 натурал сан бар.
5. Поштада үш түрлі конверттер мен 5 түрлі маркалар бар. Хат жолдау үшін бір конверт пен бір марканы неше түрлі тәсілмен тааңдап алуға болады?
Шешімі: Конвертті 3 тәсілмен, марканы 5 тәсілмен таңдап алуға болады. Көбейтінді ережесі бойынша, бір конверт пен бір марканы 3×5 = 15 тәсілмен таңдап алуға болады.
6. Екі оқушы 5 түрлі кітаптарды неше түрлі тәсілдермен бөлісе алады?
Шешімі: Кітап бөлгенде, бірінші оқушыға k кітап тисе, онда екіншіге (5 – k) кітап тиеді. Ал, k кітапты біріншіге беріп, кітапты 
тәсілмен бөлуге болады (қайталанбайтын терулер саны). Бірінші оқушыға 0, 1, 2, 3, 4, 5 кітап беруге болады. Кітапты бөлу тәсілдерінің саны 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
қосындысына тең (қосынды ережесі). Осы қосындының мәні 25-ге тең.
7. Поштада маркалардың 5 түрі бар. Олардан 3 түрлі марканы неше тәсілмен таңдап алуға болады?
Шешімі: Марканың 5 түрінен үшеуін = 
= 
= 10 тәсілмен таңдап алуға болады (қайталанбайтын терулер саны).
8. 1, 2, 3, 4, 5, 6 цифрларының көмегімен неше түрлі: 1) үш таңбалы; 2) цифрлары қайталанбайтын үш таңбалы сандар құрастыруға болады?
Шешімі: 1) Алты әртүрлі цифрдан 63 = 216 үш таңбалы сан құрастыруға болады (қайталанбалы орналастырулар).
3) Алты әртүрлі цифрдан цифрлары қайталанбайтын 
= 6×5×4 = 120 үш таңбалы сан құрастыруға болады.
9. Логарифм сөзінің әріптерінен неше түрлі: 1) 5 әріптен; 2) 8 әріптен тұратын «сөздер» құрастыруға болады.
Шешімі: Логарифм сөзінде 8 әртүрлі әріп бар. 1) Олардан 5 әріптен тұратын 
= 8×7×6×5×4 «сөздер» құрастыруға болады.
2) Логарифм сөзінің әріптерінен 8 әріптен тұратын
8! = 1×2×3×4×5×6×7×8 «сөздер» құрастыруға болады.
10. 6 адамды: 1) бір қатарға; 2) дөңгелек үстел басына неше түрлі тәсілмен отырғызуға болады?
Шешімі: 1) 6 адамнан біріншіні 6 тәсілмен, екіншіні қалған 5 орынға 5 тәсілмен, үшіншіні қалған бос 4 орынға 4 тәсілмен, төртіншіні 3 тәсілмен, бесіншіні 2 тәсілмен, ал соңғы алтыншыны қалған жалғыз орынға отырғызуға болады. Нәтижесінде 6 адамды бір қатарға 6! = 720 тәсілмен отырғызуға болады.
2) Дөңгелек үстел басына 6 адамды отырғанда олардың бәрін бір орынға жылжытса, онда олардың орналасуы өзгермейді, өйткені әрбір адамның көршілері сақталады. Дөңгелек үстел басына 6 адамды 6 рет жылжытуға болады. Сондықтан дөңгелек үстел басына 6 адамды 
= 5! = 120 тәсілмен отырғызуға болады.
11. 25 оқушының ішінен екі кезекшіні неше түрлі тәсілмен таңдап алуға болады?
Шешімі: 25 оқушының ішінен екі кезекшіні 
= 
= 300 тәсілмен таңдап алуға болады (қайталанбайтын терулер саны).
12. Ұштары шеңбер бойында берілген 10 нүктеде болатындай неше хорда жүргізуге болады?
Шешімі: Шеңбер бойындаға екі нүкте бір хорданы анықтайды. Сондықтан 10 нүктеде болатындай хордалардың саны 10 нүктенің жұптарының санына тең. 10 нүктеден екі-екіден 
= 45 жұп құруға болады (қайталанбайтын терулердің саны). Соднықтан ұштары шеңбер бойында берілген 10 нүктеде болатындай 45 хорда жүргізуге болады.
13. Төбелері алдыңғы есептегі нүктелерде орналасатын неше үшбұрыштар бар?
Шешімі: Үш нүкте бір үшбұрыш анықтайды. Сондықтан үшбұрыштар саны әртүрлі үштіктердің санына тең. Ал, 10 нүктеден 
= 120 үштік құруға болады (қайталанбайтын терулер саны).
14. Шахмат тақтасының қара түсті торларына бес дойбы тастарын неше түрлі тәсілмен қойып шығуға болады?
Шешімі: Шахмат тақтасындағы қара түсті 32 тор бар. Ал қара түсті 32 торға 5 дойбыны 
тәсілмен қойып шығуға болады.
15. Екі оқушының бірінде 7 кітап, ал екіншісінде 8 кітап бар. Олар екі кітапты алмастыруды неше түрлі тәсілмен орындай алады?
Шешімі: Екі кітапты бірінші оқушыдан 
, екіншіден 
тәсілмен таңдап алуға болады. Көбейту ережесі бойынша, олар екі кітапты алмастыруын × 
тәсілмен орындай алады.
16. 2-ге, 5-ке немесе 7-ге бөлінбейтін неше үш таңбалы сандар бар?
Шешімі: Барлық үш таңбалы сандардың саны 900 болады. Сан 2-ге, 5-ке және 7-ге бөлінеді сонда, тек сонда ғана ол 70-ке бөлінеді. 70-ке бөлінетін 13 үш таңбалы сан бар: 2×70, 3×70,…, 14×70.
Ал, сан 2-ге, 5-ке немесе 7-ге бөлінбейді сонда, тек сонда ғана ол 70-ке бөлінбейді. Сондықтан 2-ге, 5-ке немесе 7-ге бөлінбейтін неше үш таңбалы сандардың санын табу үшін барлық үш таңбалы сандардың санынан 70-ке бөлінбейтін сандардың санын алып тастау керек: 900 – 13 = 887.
17. (Орыс тіліндегі оқулықта осы нөмірлі есеп былай берілген). 2-ге, 5-ке немесе 7-ге бөлінетін неше үш таңбалы сандар бар?
Шешімі: Ai – i -ге бөлінетін үш таңбалы сандардың жиыны болсын. Онда A 2 – 2-ге, A 5 – 5-ке, A 7 – 7-ге бөлінетін үш таңбалы сандардың жиындары болады. Ал, A 2È A 5È A 7 – 2-ге, 5-ке немесе 7-ге бөлінетін үш таңбалы сандардың жиыны болады.
Қосынды ережесі бойынша, n (A 2È A 5È A 7) = n (A 2) + n (A 5) + n (A 7) – n (A 2Ç A 5) – n (A 2Ç A 7) – n (A 2Ç A 7) + n (A 2Ç A 5Ç A 7).
2-ге бөлінетін үш таңбалы сандардың саны 450 болады: 50×2, 51×2,…, 499×2. Сондықтан, n (A 2) = 450.
5-ек бөлінетін үш таңбалы сандардың саны 180 болады: 20×5, 21×5,…, 199×5. Сондықтан, n (A 5) = 180.
7-ге бөлінетін үш таңбалы сандардың саны 128 болады: 15×7, 16×7,…, 142×7. Сондықтан, n (A 2) = 128.
A 2Ç A 5 – әрі 2-ге, әрі 5-ке бөлінетін үш таңбалы сандардың жиыны болады. Сан әрі 2-ге, әрі 5-ке бөлінеді сонда, тек сонда ғана ол 10-ға бөлінеді. 10-ға бөлінетін үш таңбалы сандардың саны 90 болады: 10×10, 11×10,..., 99×10. Сондықтан, n (A 2Ç A 5) = 90.
A 2Ç A 7 – әрі 2-ге, әрі 7-ге бөлінетін үш таңбалы сандардың жиыны болады. Сан әрі 2-ге, әрі 7-ге бөлінеді сонда, тек сонда ғана ол 14-ке бөлінеді. 14-ке бөлінетін үш таңбалы сандардың саны 64 болады: 8×14, 9×14,..., 71×14. Сондықтан, n (A 2Ç A 7) = 64.
A 5Ç A 7 – әрі 5-ке, әрі 7-ге бөлінетін үш таңбалы сандардың жиыны болады. Сан әрі 5-ке, әрі 7-ге бөлінеді сонда, тек сонда ғана ол 35-ке бөлінеді. 35-ке бөлінетін үш таңбалы сандардың саны 26 болады: 3×35, 4×35,..., 28×35. Сондықтан, n (A 5Ç A 7) = 26.
A 2Ç A 5Ç A 7 – әрі 2-ге, әрі 5-ке және әрі 7-ге бөлінетін үш таңбалы сандардың жиыны болады. Сан әрі 2-ге, әрі 5-ке және әрі 7-ге бөлінеді сонда, тек сонда ғана ол 70-ке бөлінеді. 70-ке бөлінетін үш таңбалы сандардың саны 13 болады: 2×70, 3×70,..., 14×70. Сондықтан, n (A 2Ç A 5Ç A 7) = 13.
Сонымен, n (A 2È A 5È A 7) = 450 + 180 + 128 – 90 – 64 – 26 + 13 = 591.
18. 2, 5 және 7 сандарының тек екеуіне ғана бөлінетін және үшіншісіне бөлінбейтін неше үш таңбалы натурал сан бар?
Шешімі: Натурал i саны үшін Ai – i -ге бөлінетін үш таңбалы сандардың жиыны және 
– i -ге бөлінбейтін үш таңбалы сандардың жиыны болсын.
