A = { a 1,…, an } жиыны берілсін. Бұл жиынның элементтерінен тізбектерді құрастырамыз. Бірінші a 1 элементін k 1 рет қайталаймыз. Екінші a 2 элементін k 2 рет, an элементін kn рет: k 1 + k 2 +…+ kn = m. Мұндай тізбектерді n элементтен (k 1,…, kn) типті қайталанбалы алмастырулар немесе (k 1,…, kn) типті мультижиындар деп аталады.
n-нен (k 1,…, kn) типті алынған қайталанбалы алмастырулар саны Pn (k 1,…, kn), және полиномиальдық коэфициент деп аталады.
Теорема 1. Pn (k 1,…, kn) = 
.
Дәлелдеу. Егер барлық элементтер әр түрлі болса, онда m! алмастыруы болар еді. a 1 элементтерін k 1! әдіспен алмастыруға болады, a 2 элементтерін k 2! әдіспен,...., an элементтерін – kn! әдіспен, бірақ қайталанбалы алмастырулар саны бұдан өзгермейді. Онда қайталанбалы алмастырулар саны k 1! k 2!... kn! есе аз. Сондықтан қайталанбалы алмастырулар саны Pm (k 1,…, kn) = 
.
Есеп 1. “ Гамма ” сөзінің әріптерінен алмастырулармен неше сөз жазуға болады?
г, а және м әріптерінің қайталануына сәйкес k 1 = 1, k 2 = 2, k 3 = 2 – болсын. (1, 2, 2) типті қайталанбалы алмастырулар саны P 3(1,2, 2) = 
= 30 тең.
Есеп 2. Анасы 2 алма, 3 алмұрт, 4 шабдалы сатып алды. 9 күн қатарынан әрбір күні бір жемістен береді. Баласына жемістерді қанша тәсілмен бере алады?
Я- алма, г -алмұрт, а -шабдалы деп белгілейік. (2,3,4) типті қайталанбалы алмастырулар санын есептеу керек.
Бұл сан P 3(2, 3, 4) = 
= 1260.
Теорема 2. (x 1 + x 2 +…+ xn) m = 
Бұл теорема коэффициенттер атын ақтайды. Pn (k 1,…, kn). n = 2 болғанда бұл формула Pn (k 1, k 2) = 
= 
, өйткені k 1 + k 2.
II-Бөлім. Ықтималдықтар теориясының элементтері.
Оқиғиалар
Оқиғалар: ақиқатты, мүмкін емес және кездейсоқ болып бөлінеді.
Кездейсоқ оқиғалар дегеніміз кейбір жағдайларға байланысты сынау кезінде оқиғалардың пайда болуы не болмау мүмкін оқиғаларды айтамыз.
Кездейсоқ оқиғалар: үйлесімсіз, бір ғана мүмкіндікті, тең-мүмкіндікті болып бөлінеді.
Оқиғалар үйлесімсіз деп аталады, егер бір сынау кезінде оқиғаның пайда болуы оқиғалар бір-бірін шығару орын алатын болса.
Бір ғана мүмкіндікті оқиғалар – егер оқиғалардың пайда болуы сынаудың нәтижесінде тек қана бір оқиғаның пайда болуы ақиқаты оқиға болып саналуын айтамыз.
Мүмкіндіктегі бірдей оқиғалар – оқиғалардың пайда болуы басқа оқиғалардың пайда болу мүмкіндігінен аспайтын оқиғаларды айтады.
Оқиғаларды А, В және С т.с.с. ретінде белгілейді.
Мысалы, мерген нысананы мылтықпен атады. Нысана үш бөліктен тұрады. Оқиғалар: “мерген бірінші аймаққка тигізді”, “мерген екінші аймаққка тигізді”, “мерген үшінші аймаққка тигізді”, “мерген нысанаға тигізе алмады”. Бір-бірімен үйлесімсіз, бір ретті мүмкіндікті, мүмкіндігі тең емес саналады. Оқиғаның пайда болуының сандық мәнін ықтимал деген ұғым сипаттайды.
Анықтама (классикалық ықтималдық): А оқиғасының ықтималдығы үшін барлық қолайлы оқиғаның нәтижесінің санынының (m), барлық элементтер оқиғалардың n-санының қатынасымен анықталады.
Р(А)= 
(1)
шамасын алады.
Ықтималдықтың анықтамасы бойынша:
1) Оқиғаның ақиқаттығының ықтималдығы 1-ге тең Р(А)=1.
2) Оқиғаның орындалмайтындығының ықтималдығы Р(В)=С нөлге тең.
3) Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы – оң сан болады, ал сан мәні нөл мен 1-дің аралығында 0<Р(х)<1.
1 мысал. Тасталған 6 қырлы сүйектің түскен кездегі саны 3-ке еселетін сан екендігінің ықтималдығын табу керек. Ойын ақсүйегінің сынақ саны 6-ға тең, өйткені 6-жағы (қыры) бар. Шарт бойынша оқиғаның 2-і ғана рет орындалуы мүмкін (өйткені 1,2,3,4,5,6 сандарынан 2-ге 6 мен 3 еселі болып табылады): 
.
2 мысал. Группада 12 студент бар. Оның 5 өте жақсы оқиды. Тізім бойынша 6 студент алынды. Таңдап алынған студенттердің ішінде 2-і өте жақсы оқитын студент болып шығуының ықтималдығын табу керек.
Шешімі: жаяны таңдау:
Жауабы: 
.
3 мысал. Нысана бойына 70 рет оқ атылды, оның 35-і тиген, нысанаға тигізудің салыстырмалы жиілігін табу керек.
Шешуі: салыстырмалы жиілік: 
.
