Векторлардың векторлық көбейтіндісі

Ретімен алынған компланар емес векторлары берілсін. Егер векторының ұшынан қарағанда векторының векторына жақын тұспен бұрылуы сағат тіліне қарама-қарсы болса, онда - оң үштік векторлар, ал сағат тілімен бағыттас болса, онда - теріс үштік векторлар деп аталады.

 

 

және векторларының векторлық көбейтіндісі деп келесі үш шартты қанағаттандыратын векторларын айтады:

1. векторының модулі және векторларының модульдері мен осы екі вектор арасындағы бұрыш синусының көбейтіндісіне тең:

;

2. - әрбір және векторларына ортогональ, яғни ол және арқылы өтетін жазықтыққа перпендикуляр;

3. векторлары - ретгелген - оң үштік векторлар.

Векторлық көбейтінді анықтамасынан орттарының арасындағы келесі теңдіктер шығады:

, , .

теңдігін дәлелдейік.



1. , ;

2. , ;

3. векторларының оң үштікті ұйымдастырады. ■

Векторлық көбейтіндінің қасиеттері:

. (антикоммутативтік);

. (дистрибутивтік (векторларды қосуға қатысты));

. (ассоциативтік (санға көбейтуге қатысты));

. Егер болса, онда және векторлары коллинеар векторлар.

және

векторлары берілсін. Олардың векторлық көбейтіндісін табайық.

немесе

.

Векторлардың аралас көбейтіндісі

векторларының аралас көбейтіндісі деп векторларының векторлық көбейтіндісі мен векторының скаляр көбейтіндісін атайды:

.

Аралас көбейтіндінің геометриялық мағынасын анықтайық. Қырлары векторлары болатын параллелепипед салайық

 

 

және деп белгілейік. Сонда , , мұнда - және векторларына салынған параллелограмм. Ал сол үштік вектоорлар үшін ( - параллелепипед биіктігі). Сонымен:

немесе ,

мұнда - векторларына салынған параллелепипедтің көлемі.

Аралас көбейтіндінің қасиеттері:

. ;

. ;

. ;

. Егер болса, онда - компланар.

, , .

 

Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар:

1. Векторларға қолданатын сызықтық амалдар.

2. Коллинеар және компланар векторлар.

3. Векторлардың сызықтық тәуелділігі, қасиеттері.

4. Векторлық кеңістіктің базисі, өлшемі.

5. Векторлардың координаталарымен анықталуы, қасиеттері.

6. Ортонормаланған базис.

7. Векторлардың скалярлық көбейтіндісі, олардың алгебралық және геометриялық қасиеттері.

8. Ортогональдық векторлар. Берілген В базисінен жаңа В' базисіне көшкендегі жазықтықтағы және кеністіктегі векторлардың координаталарын түрлендіру.

9. Векторлардың векторлық және аралас көбейтіндісі, қасиеттері.

Әдебиеті: [1], [3], [4].

 

Дәріс 10-11.

Тақырып: Координаттар әдісі. Жазықтықтағы түзу. Түзулердің өзара орналасуы

Мақсаты: Жазықтықтағы түзу ұғымы, аффиндік жазықтықтағы түзу, координаталар жүйесін қарастыру. Жаңа координаталар жүйесіне көшкендегі нүктенің координаталарын түрлендіру формулаларын қарастыру.

Қарастыратын сұрақтар:

1. Жазықтықтағы және кеңістіктегі аффиндік координаттар жүйесі

2. Жаңа координаталар жүйесіне көшкендегі нүктенің координаталарын түрлендіру формулалары

1. Аффиндік жазықтығындағы түзу

2. Евклид жазықтығындағы түзу

3. Бір ТДЖК-ен екіншіге көшкендегі нүктенің координаттарын түрлендіру формулалары