Г) Ортонормалданған базисте координаттарымен өрнектелген екі вектордың скаляр көбейтіндісі

Теорема. Евклид R_п кеңістігіндегі кез келген екі вектордың скаляр көбейтіндісі

(1)

формуламен өрнектелу үшін, оның базисі ортонормалданған болуы қажетті әрі жеткілікті.

Қажеттілігі. (4.14) формула орындалсын деп, базис ортонормалданған болуын дәлелдейік. х пен у векторларын берілген базисте жіктелік:

 

(4.14) формуладан

Соңғы теңдіктің орындалуы үшін евклид кеңістіктің базисі ортонормалданған болуы жеткілікті:

Жеткіліктігі. Евклид кеңістігінің базисі ортонормалданған болсын деп ұйғарып, (1) формуланы дәлелделік. Ол үшін х пен у векторларыныд скаляр көбейтіндісін қарастырамыз:

Теорема дәлелденді.

Теорема. Евклид кеңістігіндегі ортонормалданған базисте вектордың координаттары :

(4.15)

формуламен өрнектеледі.

Дәлелдеуі. Берілген векторды базис бойынша жіктейік:

Осы жіктеудің екі жағында векторына скаляр көбейтсек және ортонормалданған векторлар жүйесі екенін ескерсек, онда

 

Теорема дәлелденді.

Анықтама. Егер кез келген векторы кез келген векторына ортогонал болса, яғни (х, у) = 0, онда евклид R кеңістігінің екі ішкі мен кеңістіктерін: өзара ортогонал деп атаймыз, яғни

Теорема. Евклид R кеңістігінің ішкі мен кеңістіктегі бір-бірімен ортогонал болу үшін, яғни кеңістігінің барлық базистері кеңістігінің барлық базистеріне ортогонал болуы қажетті әрі жеткілікті.

Қажеттілігі:

мен кеңістіктері өзара ортогонал болсын деп ұйғарайық, яғни Онда анықтама бойынша кеңістігінің барлық базистері кеңістігінің барлық базистеріне ортогонал болады.

Жеткіліктілігі:

векторлар жүйесі кеңістігінің базисі, ал кеңістгінің базисі болсын және теңдіктері орындалсын деп есептелік. Енді кез келген векторлардың сәйкес базистерде жіктеулерін

 

 

алып, олардың скаляр кебейтіндісін қарастыралық. Онда

яғни кез келген векторлары ортогонал немесе Теорема дәлелденді.

Теорема. Егер евклид кеңістігінің екі ішкі мен кеңістіктері өзара ортогонал болса: онда олардың қиылысуы нөл вектор болады:

Дәлелдеуі. Кез келген х вектор кеңістігінің элементі болсын деп ұйғаралық, яғни Онда және (х, х) = 0. Бұдан х = 0. Теорема дәлелденді.

Айталық, евклид R кеңістігінің кез келген ішкі кеңістігі берілсін: ал оның ортонормалданған базисі болсын делік. Енді ол базисті евклид кеңістігінің ортонормалданған базисіне дейін толықтыралық, яғни мұндағы п — diт R, k = dim . векторлар жүйесі евклид R кеңістігінің өлшемі (n - k)-ға тең ішкі кеңістігін құрастырады, яғни

 

Теорема. Егер кез келген вектор ішкі кеңістігінің кез келген векторына ортогонал болса: , онда х ішкі кеңістігінің векторы:

Дәлелдеуі. Теореманың шарты бойынша және , яғни ,

Енді х вектордың жіктелуінің екі жағында векторларына біртіндеп скаляр көбейтелік:

 

Егер ортонормалданған векторлар және екенін ескерсек, онда

Демек, х вектордың жіктелуі мына түрде жазылады:

Бұдан, . Теорема дәлелденді.

 

Анықтама. Егер векторлар жиыны ішкі кеңістігінің кез келген векторына ортогонал болса, онда ондай векторлар жиынын ішкі кеңістігінің ортогонал толықтауышы деп атаймыз, ал ол ішкі кеңістікті символымен белгілейміз мұндағы — пернендикуляр таңбасы.

 

Теорема. Егер және dіт = k, dіт онда немесе dіт + dim .

Дәлелдеуі. векторлар жиыны ішкі кеңістігінің базисі, ал нақты сандар жиыны вектордың координаттары болсын деп ұйғаралық:

векторлар жиыны евклид R кеңістігінің ортонормалданған базисі болсын (4.9-теорема). Онда:

(4.16)

 

мұндағы берілген вектордың координаттары.

Берілген вектор ішкі кеңістігінің элементі болу үшін, яғни ,

(4.17)

теңдіктердің орындалуы қажетті әрі жеткілікті (4.12-теорема). Енді (4.16) формулаларды (4.17) теңдіктерге қойып, және ортонормалданған векторлар екенін ескерсек, онда

 

(4.18)

мұндағы вектор х -тің координаттары. Бұл (4.18) біртекті сызықты теңдеулер жүйенің матрицасының рангісі k. Сондықтан, (4.18) жүйенің (n - k) сызықты тәуелсіз шешімі бар. Олай болса, . Теорема дәлелденді.

Жоғарыдағы теоремаларды ескеріп, мына төмендегі тұжырымға келеміз.