Екі және үш белгісізді сызықтық теңдеулер жүйесі. Крамер формулалары.

Бізге үш белгісізді сызықтық үш тендеулер

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+a₁₃x₃=b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+a₂₃x₃=b₂

a₃₁x₁+ a₃₂x₂+a₃₃x₃=b₃

жүйесі берілсін дейік. Мұндағы а_ij коэффициентері мен b_i босмүшелері нақты сандар болсын. Мына белгілеулерді енгізейік

= , = , = , =

Егер , онда Крамер ережесі бойынша

n белгісіздігі m сызықтық теңдеулер жүйесі берілген:

a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ +… + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +… + a_2n x_n = b₂,

……………………….. (2)

 

a_m1 x₁ + a_m2 x₁ + … + a_mn x_n = b_m.

 

Мұндағы а _ij кез келген нақты сандар, х_i – белгісіз шамалар, ал b_j -бос мүшелер, і=1, _m (1-ден m–ге дейін), j=1, _{n .} Егер бос мүшелердің барлығы нөлге тең болса, онда (2) теңдеулер жүйесі біртекті деп, ал ең болмағанда біреуі нөлден өзге болса, онда теңдеулер жүйесі біртекті емес деп аталады.

Анықтама. a₁,a₂,…, a_n сандарын (2) теңдеулер жүйесіндегі белгісіздердің орнына қойғанда теңдеулердің бәрі теңдікке айналса, онда бұл сандар теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.

Анықтама. (2) теңдеулер жүйесінің ең болмағанда бір шешімі болса, онда жүйе үйлесімд і, ал шешімі жоқ болса үйлеciмсіз деп атайды.

Анықтама. Теңдеулер жүйеснің тек бірі ғана (жалқы) шешімі болса анықталған, ал бірнеше (кейде ақырсыз көп) шешімі болса анықталмаған деп аталады.

Мысалы,

2x₁ + 3x₂ = 5,

2x₁ + 3x₂ = 6

теңдеулер жүйесінің шешімі жоқ, яғни үйлесімсіз, өйткені теңдеулердің сол бөліктері тең, ал оң бөліктері әртүрлі.

 

x₁ - x₂ = 2,

3x₁ - 3x₂ = 6 жүйесі үйлесімді, бірақ анықталмаған, өйткені ақырсыз көп шешімі бар. Егер екінші теңдеуді 3-ке қысқартсақ өзара тең теңдеулер шығады.

n белгісіздігі n сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырамыз:

a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ +… + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +… + a_2n x_n = b₂,

……………………….. (3)

 

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + … + a_nn x_n = b_n.

 

 

(3) жүйесінің шешімдері x_1, x_2, …., x_n - лер а_ij коэффициенттері мен b_j бос мүшелері арқылы өрнектелуі керек, мұндағы і, j=1,n.

 

Крамер әдісі

Теңдеулер жүйесін шешу үшін мектеп оқулығынан белгілі алгебралық қосу әдісін қолданамыз. (3) теңдеулер жүйесін шешу үшін 1 теңдеуді А_{11 -} ге, 2-ні А₂₁ –ге және т.б., ал соңғы теңдеуді А_n1 –ге көбейтемізде осы теңдеулерді қосып ұқсас мүшелерін біріктіреміз.

(a₁₁ A₁₁ + a₂₁A₂₁ + … + a_n1 A_n1) x₁ + (a₁₂ A₁₁+a₂₂ A₂₁ + …+ a_n2 A_n1)x₂ + …

+ (a_1n A₁₁ + a_2n A₂₁ + … + a_nn A_n1)x_n = b₁ A₁₁ + b₂ A₂₁ + … + b_n A_n1

(3) теңдеулер жүйесінің коэффициенттерінен құрылған n-ретті анықтауышты қарастырамыз.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a_1n

a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2n

= a₃₁ a₃₂ a₃₃ … a_3n. (4)

… … … … …

a_n1 a_n2 a_n3 … a_nn

 

Мұны теңдеулер жүйесінің бас анықтауышы деп атайды. Белгісіз x₁ –дің коэффициенті бірінші баған элементінің өзінің алгебралық толықтауышына көбейтінділерінің қосындыларынан тұрады, ендеше, ол 9-қасиет бойынша (4) анықтауышқа тең.

Қалған х₂ , х₃, … х_n белгісіздерінің коэфициенттері екінші, үшінші, …, n-баған элементтерінің бірінші баған элементтерінің алгебралық толықтауышына көбейтінділерінің қосындысынан тұрады, ал олар 10-қасиет бойынша нөлге тең.

Оң жағы бос мүшелер мен бірінші бағанның алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысынан тұрады, ал бұл бірінші баған элементтері бос мүшелермен ауыстырылған (4) анықтауышты береді. Сонда

∆ ∙ х₁ = ∆х_1, .

Осы тәсілмен (3) теңдеулер жүйесінің бағандарын сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейту арқылы қалған белгісізднрді табу формулалары қорытылып шығарылады:

i = 1,n,_, (5)

мұнда ∆ - жүйенің бас анықтауышы, ал ∆ х_i - анықтауыштың і –баған мүшелерін бос мүшелерімен ауыстырғаннан алынған қосымша анықтауыштар.

1. (5) формуладағы жүйенің бас анықтауышы нөлден өзге болу керек. Бұл жағдайда (3) теңдеулер жүйесінің жалғыз ғана шешімі болады.

2. Егер ∆ = 0 болса, ал қосымша анықтауыштардың біреуі нөлден өзге (∆х_i = 0), онда теңдеулер жүйесінің шешімі болмайды (мектеп бағдарламасы бойынша нөлге бөлуге болмайды).

3. Егер ∆ = 0, және барлық қосымша анықтауыштар да нөлге тең (∆х_i=0), онда жүйенің ақырсыз көп шешімі болады.

Қайталау сұрақтары:

1 СТЖ.

2 Біртекті СТЖ.

3 Біртекті емес СТЖ.

4 Біртекті СТЖ шешу жолдары.

5 Біртекті СТЖ шешудің Крамер әдісі.

Әдебиеті: [1], [3], [4].

 

Дәріс 6.

Тақырып: Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу

Мақсаты: Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу жолымен таныстыру.

Қарастыратын сұрақтар: Гаусс әдісі

Гаусс-Жордан әдісі

n белгісіздігі n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер ережесімен шешуде n -i ретті (n+1) анықтауышты есептеу өте күрделі жұмыс.

Екіншіден, бас анықтауыш нөлге тең болғанда және белгісіздер саны теңдеулер санымен сәйкес келмесе Крамер әдісі қолданыла алмайды. Сондықтан, бірте-бірте белгісіздерді жою әдісі (Гаусс әдісі) қолданылады, ал бұл әдіс матрицаларды қолдану арқылы кеңейтіледі.

Белгісіздер саны мен теңдеулер саны бірдей болған жағдай үшін Гаусс әдісін қарастырамыз

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁

 

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + a_2nx_n = b₂

…………………………………..

а_n1х₁ + а_n2х₂ + … + a_nnx_n = b_n

 

коэффициент а₁₁= 0 деп есептелік, бірінші теңдеуді осы коэффициентке бөлеміз:

(а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁) = х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁ . (*)

а₁₁

 

Алынған теңдеуді (-а₂₁) – ге көбейтемізде (6) жүйенің екінші теңдеуіне қосамыз, сонда ′ ′ ′ ′

а₂₂х₂ + а₂₃х₃ + … + a_2nx_n = b₂

және дәл осылай жалғастырамыз, соңында (*) теңдеуін (-а_n1)-ге көбейтіп соңғы теңдеуге қосамыз, сонда

′ ′ ′ ′

а_n2х₂ + а_n3х₃ + … + a_nnx_n = b_n.

Сонымен, (n-1) белгісіздігі жаңа теңдеулер жүйесін аламыз

а₂₂х₂ + а₂₃х₃ + … + a_2nx_n = b₂ ,

а₃₂х₂ + а₃₃х₃ + … + a_3nx_n = b₃ , (7)

…… …… …… …… ……

′ ′ ′ ′

а_n2х₂ + а_n3х₃ + … + a_nnx_n = b_n.

(7) жүйе (6) жүйеден теңдеулерді сызықтық түрлендірулер арқылы алынғандықтан, бұл жүйе (6) жүйемен мәндес, яғни (7) жүйенің шешімдері берілген теңдеулер жүйесінің де шешімдері болады.

Үшінші, төртінші және т.б. n -і теңдеулердегі х₂ – ден құтылу үшін (7) жүйенің бірінші теңдеуін а₂₂ санына бөлу қажет және осы теңдеуді х₂ – нің кері таңбасымен алынған коэффициентіне көбейтіп және оларды қосып мына жүйені аламыз:

′ ′ ′ ′

х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ … + a_1nx_n = b₁ ,

х₂ + а₂₃⁽²⁾ х₃ + … + a_2n⁽²⁾ x_n = b₂⁽²⁾,

а₃₃⁽²⁾ х₃ + … + a_3n⁽²⁾ x_n = b₃⁽²⁾,

…… …… …… ……...

а_n3⁽²⁾ х₃ + … + a_nn⁽²⁾ x_n = b_n ⁽²⁾ .

 

Бұл алгоритмді n рет қайталап теңдеулер жүйесін диагональді түрге келтіреміз:

′ ′ ′ ′

х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ … + a_1nx_n = b₁ ,

х₂ + а₂₃⁽²⁾ х₃ + … + a_2n⁽²⁾ x_n = b₂⁽²⁾,

х₃ + … + a_3n⁽²⁾ x_n = b₃⁽³⁾,

…… …… …… …….

а_nn ⁽ⁿ⁾ х_n = b_n ⁽ⁿ⁾ .

Соңғы теңдеуден x_n –і табамыз, оның мәнін алдындағы теңдеуге қойып x_n-1-ің мәнін аламыз, осылай жоғары қарай жылжи отырып x₁-ің мәнін табамыз. Бұл Гаусстың классикалық әдісі. Енді n белгісізі бар m теңдеулер жүйесін қарастырамыз:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + a_2nx_n = b₂ , (8)

…… …… …… …… …….

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + a_mnx_n = b_m.

 

Анықтама.

(8) теңдеулер жүйесінің белгісіздерінің коэффициенттерінен құрылған матрица негізгі матрица деп аталады.

Егер осы матрицаға бос мүшені (n+1) тік жолы (бағаны) етіп алатын болсақ, онда ол кеңейтілген матрица деп аталады:

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

A = … … … ….

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

 

Матрица жолдарына сызықтық амалдар қолдануға болады:

- жолдарды ауыстыру;

- жолды кез келген санға көбейтуге және оны басқ жолдың сәйкес элементтеріне қосуға;

- бағандарды ауыстыру (қай белгісізге олар сәйкес келетінін есте сақтау керек);

- баған элементтеріне амалдар (қосуға, көбейтуге және т.б.)қолдануға болмайды.

Гаусс-Жордан әдісі жолдарға сызықтық амалдар қолдана отырып негізгі матрицаны бірлік матрицаға келтіру болып табылады, яғни

 

1 0 … 0 с₁

0 1 … 0 с₂

… … … … ….

0 0 … 1 с_m

 

Сонда, егер тік жолдар орындарын ауыстырмаса, онда жүйенің шешімі:

х₁= с₁; х₂ = с₂;…; х_m = с_m

Қайталау сұрақтары:

1 Алдын ала нөлдерге келтіру

2 Тура жүру әдісі

3 Кері қадам

4 Элементар түрлендіру

Әдебиеті: [1], [3], [4].

 

Дәріс 7-9.

Тақырып: Векторлық алгебра.

Мақсаты: Векторлық алгебраға кіріспе. Вектор ұғымы, оған қолданылатын амалдарды қаарастыру.

Қарастыратын сұрақтар:

1. Вектор. Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар

2. Вектордың проекциясы

3. Вектордың координаталарымен анықталуы

4. Нүкте координаталары. Вектор координаталары